VALEURS SINGULIÈRES DES FONCTIONS DANS QUELQUES CAS PARTICULIERS

§ I. — Des quantités infiniment petites et infiniment grandes.

On dit qu'une quantité variable devient infiniment petite, lorsque sa valeur numérique décroît indéfiniment de manière à converger vers la limite zéro. Il est bon de remarquer à ce sujet qu'on ne doit pas confondre un décroissement constant avec un décroissement indéfini. La surface d'un polygone régulier circonscrit à un cercle donné décroît constamment à mesure que le nombre des côtés augmente, mais non pas indéfiniment, puisqu'elle a pour limite la surface du cercle. De même encore, une variable qui n'admettrait pour valeurs successives que les différents termes de la suite

prolongée à l'infini, décroîtrait constamment, mais non pas indéfiniment, puisque ses valeurs successives convergeraient vers la limite i. Au contraire, une variable qui n'aurait pour valeurs successives que les différents termes de la suite

prolongée à l'infini, ne décroîtrait pas constamment, puisque la différence entre deux termes consécutifs de cette suite est alternativement

positive et négative; et, néanmoins, elle décroîtrait indéfiniment, puisque sa valeur finirait par s'abaisser au-dessous de tout nombre donné.

On dit qu'une quantité variable devient infiniment grande, lorsque sa valeur numérique croît indéfiniment de manière à converger vers la limite oc. 11 est encore essentiel d'observer ici qu'on ne doit pas confondre une variable qui croît indéfiniment avec une variable qui croît constamment. La surface d'un polygone régulier inscrit à un cercle donné croît constamment, mais non pas indéfiniment, à mesure que le nombre des côtés augmente. Los termes de la suite naturelle

des nombres entiers

croissent constamment et indéfiniment.

Les quantités infiniment petites et infiniment grandes jouissent de plusieurs propriétés, qui conduisent à la solution de questions importantes, et que je vais exposer en peu de mots.

Soit a une quantité infiniment petite, c'est-à-dire une variable dont la valeur numérique décroisse indéfiniment. Lorsque dans un même calcul on fait entrer les diverses puissances entières de a, savoir

ces diverses puissances sont respectivement désignées sous le nom d'infiniment petits du premier, du second, du troisième ordre, etc. En général, on appelle infiniment petit du premier ordre toute quantité variable dont le rapport avec a converge, tandis que la valeur numérique de a diminue, vers une limite finie différente de zéro ; infiniment petit du second ordre toute quantité variable avec a, et dont le rapport avec a- converge vers une limite finie différente de zéro, etc. Cela posé, si l'on désigne par k une quantité finie différente de zéro, et par £ un nombre variable qui décroisse indéfiniment avec la valeur numérique de a, la forme générale des quantités infiniment petites du premier ordre sera

/i a ou du moins /.a(i±:£);