PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE IL

la forme générale des quantités infiniment petites du second ordre /.a- ou du moins /(a-{[±e).

entin la forme générale des infiniment petits de l'ordre n (n représentant un nombre entier) sera

A- a" ou du moins ka'^{i±:e).

On peut facilement établir, à l'égard de ces divers ordres de quantités ^

infiniment petites, les théorèmes suivants : \

Théorème 1. — Si l'on compare Viui à l'autre deux injinimenl petits d'ordres différents, pendant que tous les deux convergeront dcts la limite zéro, celui qui est de l'ordre le plus élevé finira par obtenir constamment la plus petite valeur numérique.

Démonstration. — Soient, en effet,

A-a"(i±£), k'oi"'{\±z')

deux infiniment petits, l'un de l'ordre n, l'autre de l'ordre n' , et supposons n''^n; le rapport entre le second de ces infiniment petits et le premier, savoir

convergera indéfiniment avec a vers la limite zéro, ce qui ne peut avoir lieu qu'autant que la valeur numérique du second finit par devenir constamment inférieure à celle du premier.

Théorème 11. — Un infiniment petit de l'ordre n, c'est-à-dire de la

forme

koc"{[±s),

change de signe avec a toutes les fois que n est un nombre impair, et conserve pour de très petites valeurs numériques de a le même signe que la quantité k, lorsque n est un nombre pair.

Démonstration . — En efi*et, dans la première hypothèse, a" change

de signe avec a, et, dans la seconde, a" est toujours positif. De plus, lo signe du produit k(i ± s) est le même que celui de k, lorsque £ est très petit.

Théorème III. —La somme de plusieurs infiniment petits des ordres

(n', n", ... désignant des nombres supérieurs an) est un nouvel infiniment petit de l'ordre n.

Démonstration. — En effet,

tk' k" ~\

£, étant un nombre qui converge avec a vers la limite zéro.

Des principes qu'on vient d'énoncer on déduit aisément, comme on va le voir, plusieurs propositions remarquables qui se rapportent à des polynômes ordonnés suivant les puissances ascendantes d'une quantité infiniment petite a.

Thkorkme IY. — Tout polynôme ordonné suivant les puissances ascendantes de a, par exemple «

a -\- bct. -\- ccf.' + . . .

ou, plus généralement,

a y."^ + byy+ C3;""+ . . .

(les nombres /?, n' , n" , ... formant une suite croissante), finit par être,

pour de très petites valeurs numériques de ol, constamment de même signe

que son premier terme

a ou a a".

Démonstration. — En effet, la somme faite du second terme et de ceux qui le suivent est, dans le premier cas, un infiniment petit du premier ordre, dont la valeur numérique finit par être inférieure à celle de la quantité finie a, et, dans le second cas, un infiniment petit