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il peut s'en trouver une ou deux de réelles, comme on le verra ciaprès.

Outre les puissances entières et les racines correspondantes des expressions imaginaires, on a souvent à considérer ce qu'on appelle leurs puissances fractionnaires ou négatives. On doit faire à ce sujet les remarques suivantes.

Pour élever l'expression imaginaire a -+- ^\J — i à la puissance fractionnaire du degré —, il faut, en supposant la fraction — réduite à sa plus simple expression : i'* extraire la racine /i'^™^ de l'expression donnée; 2° élever cette racine à la puissance entière du degré m. Le problème pouvant être résolu de plusieurs manières (voir ci-après le § IV), nous désignerons indistinctement l'une quelconque des puissances du degré — par la notation

((a + Sv^-.))".

Dans le cas particulier où € se réduit à zéro, une ou deux de ces puissances peuvent devenir réelles.

Elever l'expression imaginaire a-hêy^ — i à la puissance négative du degré — m, ou ? ou > c'est diviser l'unité par la puissance

du degré m, ou -? ou — de la même expression. Le problème admettant une solution seulement, dans le premier cas, et plusieurs solutions dans chacun des deux autres, on indique la puissance du degré

— m par la notation simple

tandis que les deux notations

((« + êv/^))"",

in

représentent, la première, une quelconque des puissances du degré

— -> et la seconde une quelconque des puissances du degré — — •

On dit que deux expressions imaginaires sont conjuguées l'une à l'autre, lorsque ces deux expressions ne diffèrent entre elles que par le signe du coefficient de y^ — i. La somme de deux semblables expressions est toujours réelle, ainsi que leur produit. En effet les deux expressions imaginaires conjuguées

a + êV'— I, oc — 6^ — I

donnent pour somme 2a et pour produit ca^ -\- ê^. La dernière partie de cette observation conduit à un théorème relatif aux nombres, et dont voici l'énoncé :

Théorème L — Si l'on multiplie l'un par l'autre deux nombres entiers dont chacun soit la somme de deux carrés, le produit sera encore une somme de deux carrés.

Démonstration. — Soient