PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE VIL

les deux nombres entiers dont il s'agit, a?, ê^, a'-, ê'- désignant des carrés parfaits. On aura évidemment les deux équations

(a H g y/HT) (a'+ 6V^) = aa'- êS'+ (aS'-i- a'S) v/^^, (sj g^/:r7) (a' êV^^^) = aa'— o§'— (a6'+ a'g) y/^^,

et, en multipliant celles-ci membre à membre, on obtiendra la suivante

(7) (a2+ ê^) (a'2+ S'2) = (aa'— Sê')2+ (aê'+ a'ê)^

Si l'on échange entre elles dans cette dernière les lettres a' et ^' , on trouvera

(8) (a-+ ê2) (^'2, g'2) (^g/ 3('g)2 + (aa'+ êg')2.

Il va donc en général deux manières de décomposer en deux carrés le produit de deux nombres entiers dont chacun est la somme de deux carrés. Ainsi, par exemple, on tire des équations (7) et (8)

On voit par ces considérations que l'emploi des expressions imaginaires peut être d'une grande utilité, non seulement dans l'Algèbre ordinaire, mais encore dans la Théorie des nombres.

Quelquefois on représente une expression imaginaire par une seule lettre. C'est un artifice qui augmente les ressources de l'Analyse, et dont nous ferons usage dans ce qui va suivre.

§ II. — Sur les modules des expressions imaginaires et sur les expressions réduites.

Une propriété remarquable de toute expression imaginaire

c'est de pouvoir se mettre sous la forme

p(cosÔ -H- v/— I sin(5),

p désignant une quantité positive et G un arc réel. En effet, si l'on pose l'équation symbolique

(i) a + êy^— I = p(cos9 -+- \/— I sin5)

OU, ce qui revient au même, les deux équations réelles

on en tirera

( a = p cos9, ( ê = p sin5,

a^ + ê2 — p'- ( cos^ 0 + sin^ 9 ) r^ p\

(3) p:=y/aM-g2;

et, après avoir ainsi déterminé la valeur du nombre p, il ne restera, pour vérifier complètement les équations (2), qu'à trouver un arc 0 dont le cosinus et le sinus soient respectivement

cos(5 = , sm

y/a-' + 6^ Ce dernier problème est toujours soluble, attendu que chacune des

quantités > , a une valeur numérique inférieure à l'u-

nité, et que la somme de leurs carrés est égale à i. De plus, il admet une infinité de solutions différentes, puisque, après avoir calculé une valeur convenable de l'arc G, on pourra, sans changer ni le sinus ni le cosinus, augmenter ou diminuer cet arc d'un nombre quelconque de circonférences.

Lorsque l'expression imaginaire a -+- êy/— i se trouve ramenée à la

forme ,

p(cos9+ y/— I sin9),

la quantité positive p est ce qu'on appelle le module de cette expression imaginaire; et ce qui reste après la suppression du module, c'est-