PHEMIEHE PARTIE. - CHAPITRE VII

à-dire lo facteur

cos9 -f-\/— I sinô,

est ce que nous nommerons V expression réduite. Comme des quantités a et Ç supposées connues on ne déduit pour le module p qu'une valeur unique déterminée par l'équation (3), il en résulte que le module reste le même pour deux expressions imaginaires égales. On peut donc énoncer le théorème suivant :

Théorème I . — L'égalité de deux expressions imaginaires entraine toujours l'égaillé des modules et, par conséquent, celle des expressions réduites.

Si l'on compare entre elles deux expressions imaginaires conjuguées, on trouvera encore que leurs modules sont égaux. Le carré du module commun à ces deux expressions ne sera autre chose que leur produit.

Lorsque dans l'expression imaginaire a + § y'— ^ '^ second terme ^ s'évanouit, cette expression se réduit à une quantité réelle a. Dans la même hypothèse, on tire des équations (3) et (4) : i° quand a est positif,

cos5=i, sinô=zo et, par suite,

k désignant un nomhre entier quelconque; 2" quand a est négatif,

p = v'aS cosôrir — I, sin9=o

et, par suite,

Ainsi le module d'une quantité réelle a n'est autre chose que sa valeur numérique ya'. Pt l'expression réduite qui correspond à une semblable quantité est toujours +1 ou — i, savoir

+ I ■= cos(ib a/iT) -À- V -- 1 siii(it 'îkr.),

OEn^'rcsde C. - S. H, l. MI. 21

lorsiju'il s'agit d'une quantité positive, et

— I — cos(:~ 2^ + 171)^- v'— » sin(± ik -1- i tt),

lorsqu'il s'agit d'une quantité négative.

Toute expression imaginaire qui a zéro pour module se réduit ellemême à zéro, puisque ses deux termes s'évanouissent. Réciproquement, comme le cosinus et le sinus d'un arc ne deviennent jamais nuls en même temps, il en résulte qu'une expression imaginaire ne [)eut se réduire à zéro qu'autant que son module s'évanouit.

Toute expression imaginaire qui a l'unité pour module est nécessairement une expression réduite. Ainsi, par exemple,

cos« + V — I si II (7,

(•osa — \' —

1 Sill(7,

— cos(7 — \l— I sina,

— ces (7 + v'—

I sina

sont quatre expressions réduites conjuguées deux à deux. Effectivement, pour tirer ces quatre expressions de la formule

cosO -+- \— I siii^*, il sulTira de poser successivement

9 ^= it 2 A' TT 4- a, 0 =--±1 2/iK — a,

0 = ± ( 2 A- + I ) 71 -H rt, 0 :- zh {2 k -h i)rL — a,

k désignant un nombre entier quelconque.

Les calculs relatifs aux expressions imaginaires pouvant être simplifiés par la considération des expressions réduites, il importe de faire connaître les principales propriétés de ces dernières. Ces propriétés sont comprises dans les théorèmes que je vais énoncer.

TiiÉauÈME H. — Pour rnalliplier l'une par l'autre deux expressions

réduites

cos5 -H\/— I sin0, 008 6'+ v"^ • sin5',

d suffit d'ajouter les arcs 0 et 0' qui leur correspondent.