PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE VU

Démonstration . — On a, en effet,

( (cos9 + v'— ' sinô)(cos9' + v^— i siii(5')

' =cos(5 + Ô') -t-y/^ siii(9 4-'>').

Corollaire. — Si dans la formule précédente on fait ô — — 0, on trouvera, comme on devait s'y attendre,

(6) ( cos9 + \''— I sinô) (cos5 — \''— i sinô) — i.

Théorèmi: lll. — Pour iniiUipUer les unes par les autres plusieurs expressions réduites

co'à^ + \'—\. i\nO, Q,o?,V + \' — \ 'i'mO' , cos$"h- y — ' siu5", ...,

il suffit d'ajouter les arcs 0, 0', 0", . . . qui leur correspondent.

Démonstration. — En effet, on aura successivement

(cos6 + v/— I siii9) (cosÔ'+ v^~- ' sinô')

— cos(ô + 6') + v'-"' sin(^ + ^')'

(ces 9 -t- v''^ sin 9) (cos 6' + \j~^ sin 9' ) (cos 5" + y — ^ siri '5") --=[cos(^ + 5' -f- ;/--"" sin(Ô 4-9')] (cosô" + v''^sin;^")

— cos(9 -i- 9'+ 9") + v/-"" s'n(Q + 5'+ Ô"),

et, en continuant de même, on trouvera généralement, quel que soit le nombre des arcs 0, 0', ô", . . . ,

(cos9 + v'— ' sinô) (cos9'-f- \l ~ \ sin9') (cos9" + y'— < sin^")- • ■

Corollaire. — Si l'on développe par la multiplication immédiate le premier membre de l'équation (7), le développement se composera de deux parties, l'une toute réelle, l'autre ayant pour facteur y — i- ^^cla posé, la partie réelle fournira la valeur de

164 COURS D'ATsfALYSE.

et le coefficient de y'— i dans la seconde partie la valeur de

sin(6+ Ô'4- 6/"+. . .).

Supposons, par exemple, que l'on considère seulement trois arcs 6, 0', 6". L'équation (7) deviendra

(cosô + V"-- ^ sin0) ('cos0'+ \''— i sinô') (cos0"4-\/— i sin9") ^ cos{0 -T-6'+ 0") -h v'"-^ sin ( 9 -^ 5' 4- 9"),

et, après avoir développé le premier membre de cette dernière par la multiplication algébrique, on en conclura

cos(9 + 6'+ 9") := cos9cos5'cos9"— cos9sin9'sin 9" — sin 9 ces 9' sin 9" — sin 9 sin 5' cos(9",

sin (9 + 9'+ 6") = sinÊ/cos9'cos9"4-cosÔsinÔ'cos6" -+- cos9 cos9' sin 9"+ sin 9 sin 5' sin 6".

Théorèmk IV. — Pour f/à'iser l'expression réduite

cos9 -+- v'— I sin 9 /?«/• la suivante

cos 9' + v/~- ' sin 9',

il sujjit de retrancher V arc 0', qui correspond à la seconde, de l'arc 0 correspondant à la première.

Démonstration. — Soit x le quotient cherché, en sorte qu'on ait

cosô --t- V — I sinô cos 6' 4- v/— I sinô'

Ce quotient devra être une nouvelle expression imaginaire tellement choisie, que, en la multipliant par cosO'+ \j— i sinO', on reproduise cosO -f- v^— I sinO. i^]n d'autres termes, x devra satisfaire à l'équation

(cos^'+v'— r sin(9')j7 — cos 9 + \/— i sin 5.

Pour tirer de cette équation la valeur de x, il suffira de multiplier les

deux membres par

cos 6'— V - I sinô'.