PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE VII
On réduira de cette manière le coefficient de x à l'unité {voir le théorème II, corollaire I), et l'on trouvera
a:- = ( cosô -I- y-- 1 sin6')(cos0'~y— i sin6') =3 (cos0 + V - ' sine) [cos(- 6') + y'— T sin(— Ô')] = cos(9— ô') + v'^sin(9 — ô').
On aura donc en définitive
(8) — ^ — - . -cos(5-6 ) ^ V-' s'"(^— ^ )•
cos5'+ y~ ' sni9'
Corollaire. — Si dans l'équation (^8) on fait 8 = o, elle donnera
(9) \^= — CCS 9' — v^— T sin9'.
cosô'h- v — I sin9'
Thp:orème V. — Pour élever V expression imaginaire
CCS 9 + \ — I sin5
« la puissance du degré m (m désignant un nombre entier quelconque), il suffit de multiplier dans cette expression l'arc ô par le nombre m.
Démonstration. — En effet, les arcs G, 0', 0", . . . pouvant être quelconques dans la formule (7), si on les suppose tous égaux à l'arc G et en nombre m, on trouvera
(10) Xcosô + V — I sin0)"'=: cosmO + v/~ ' sinmô.
Corollaire. — Si dans l'équation (10) on fait successivement G = :?, G = — s, on obtiendra les deux suivantes :
(II
1 (cos^ + v — I sinj)'"^!: cosmz -+- y - 1 sin/«^, V l^cos^ — V " I sm-3 j =cosm:; — \' isxnmz.
Le premier membre de chacune de ces dernières, étant toujours un produit de m facteurs égaux, pourra être développé par la multiplication immédiate de ces facteurs ou, ce qui revient au même, par la
formule de Newton. Si, après avoir effectué le développement dont il s'agit, on égale de part et d'autre dans chaque équation : i" les parties réelles; 2" les coefficients de y — '» on en conclura
niini — \) „ . „
1 H ^ ~ ^—^ ^COS'"-*iSUl*- — . . .,
m sin/nc = — cos'"~' ; sin .:
ni (m — t ) ( ni — 2 )
^ A, co^'"-' z %m^ z +
On trouvera, par exemple, en supposant m — 2,
cos2^ =: cos^^ — sin-^, sin2x; = 2sin3 cos^;
en supposant m = 3,
cosS:; 1= cos^^ — 3 coss sin-^, sin 3:; =^ 3 eos-c sine — sin':;,
Théorème VI . — Pour élever l'expression imaginaire
» cos9 H- \'— I siri9
à la puissance du degré — m (m désignant un nombre entier quelconque), il suffit de multiplier dans cette expression l'arc 6 par le degré — m .
Démonstration. — En effet, d'après la définition que nous avons donnée des puissances négatives (voir le § I), on aura
(cosG + v/— I sin0)~
(ces 9 + v^— I sinô)'" cosmô 4- y/— 1 sxnmB Par suite, en ayant égard à la formule (c)), on trouvera (i3) (cos9 -h V — I sinO)"'"— cos/nf5 - - \ — i i\nmO
PHEMIÈRE PARTIE. - CHAPJÏRE VM. 167
ou, ce qui revient au même,
(i4) (cosÔH- v'— I sin9)~"' ~ cos(— mô) -h sj— i sin(— mB).
Après avoir établi, comme nous venons de le faire, les principales propriétés des expressions réduites, il devient facile de multiplier ou de diviser l'une par l'autre deux ou plusieurs expressions imaginaires, quels que soient leurs modules, aussi bien que d'élever une expression imaginaire quelconque à la puissance du degré m ou —m {m désignant un nombre entier). On peut, en effet, exécuter simplement ces diverses opérations à l'aide des théorèmes suivants :
Théorkmk Yll. — Pour obtenir le produit de deux ou de plusieurs expressions imaginaires, il suffit de multiplier le produit des expressions réduites qui leur correspondent par le produit des modules.
Démonstration. — Le théorème énoncé se déduit immédiatement de ce principe, que le produit de plusieurs facteurs réels ou imaginaires reste le même dans quelque ordre qu'on les multiplie. Soient effectivement
p(cos9 + y'— I sin5), p' {cosQ' +\/— ismB'), p"(cos5"+ y^— i sinS"),
plusieurs expressions imaginaires, dont p, p', p", . . . désignent les modules. Lorsqu'on voudra multiplier entre elles ces expressions dont chacune est le produit d'un module par une expression réduite, on pourra, en vertu du principe qu'on vient de rappeler, former, d'une part, le produit de tous les modules, de l'autre, celui de toutes les expressions réduites, puis multiplier ces deux derniers produits l'un par l'autre. On trouvera de cette manière pour résultat définitif
(i5) pp'p". . . [cos(9 + 9'+ 9"+. . .) +y/~ sin(0 + 0'+ 6"+. . .)].
Corollaire I. — Le produit de plusieurs expressions imaginaires est une nouvelle expression imaginaire qui a pour module le produit des modules de toutes les autres.
Corollaire H. — {]omme une expression imaginaire ne s'évanouit
jamais qu'avec son module, et que, pour faire évanouir le produit de plusieurs modules, il faut nécessairement supposer l'un d'eux réduit à zéro, il est clair qu'on peut tirer du théorème YIÏ la conclusion suivante :
Le produit de deux ou de plusieurs expressions imaginaires ne peut sèK'anouir qu autant (fue l' une d'elles se réduit à zéro.
TnÉORKJu: .V 111. — Pour obtenir le quotient de deux expressions imaginaires, il suffit de multiplier le quotient des expressions réduites qui leur correspondent par le quotient des modules.
Démonstration. - Supposons qu'il s'agisse de diviser l'expression
imaginaire
p(cos(5 + \/— I sinô),
dont le module est p, par la suivante
p'(cos0'+ v^^ ^ sin9'),
dont le module est p'. Si l'on désigne par x le quotient demandé, X devra être une nouvelle expression imaginaire propre à vérifier
l'équation
p'(cos5'+ y/— I sin0')j7 = p(cos0 -h \/— i sinf5).
Pour tirer de cette équation la valeur de x, on multipliera les deux membres par le produit des deux facteurs
—, 5 cos B' — J— I sin Q' ,
et l'on trouvera de cette manière, en écrivant -7 au lieu de p —,,
;r— -^[cos(5-Ô')+v'-l"siii(9-9')J. * P
On aura donc en dernière analyse
, ^, p(cos0 + v^— I sinô) pr ,. ,,, / . ,r, û,,i
p'(cos6''-hv/— I sinô') 9
