PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE VIT

et, puisque, en vertu du théorème IV,

cos{0 — 6') -i- s/^ sin{0 — 0') est précisément le quotient des deux expressions réduites

COS0 + v^— • sin5, cos6'-+-\/— I sin6'',

il est clair que, après avoir établi la formule (i6), nous devons considérer le théorème VIII comme démontré.

Corollaire. — Si dans l'équation (i6) on fait 0 = o, elle donnera

(17) __ -L^__^^ := i(cosô'-s/=rTsin5').

Théorème IX. — Pour obtenir la m*^"'^ puissance d'une expression imaginaire (m désignant un nombre entier quelconque), il suffit de multiplier la m^^""^ puissance de V expression réduite correspondante par la jy^ieme puissance du module.

Démonstration. — En effet, si dans le théorème VII on suppose les expressions imaginaires

p (cos6' -i- v^— I sin 0 ), p' ( cos 5' H- y/ — I sin 0' ), p"(cos(î"-i- v^— ' sin^"),

toutes égales entre elles et en nombre m, leur produit sera équivalent à la puissance m'*'™*' de la première, c'est-à-dire à

[p(cos5 4- v^— I sinô)]'";

et, comme dans cette hypothèse l'expression (i5) deviendra

p'«(cosmO + y/— I sin m 9), on aura définitivement (18) [p(cos6 + v^^sin0)]"'=p'"(cos/«ô+v/— 7 sin//i&).

OEuvres de C. — S. H, t. \\\. 22

L'expression réduite

cos/«!5 + ^/ — I sinm9

étant égale (en vertu du théorème V) à

(cos^ + y/— I sinS)'",

il en résulte que, après avoir établi la formule (i8), on doit considérer le théorème IX comme démontré.

Théorème X. — Pour élever une expression imaginaire à la puissance du degré — m (w désignant un nombre entier^, il suffit de former les puissances semblables du modale et de V expression réduite, puis de multiplier ces deux dernières l'une par l'autre.

Démonstration. — Supposons qu'il s'agisse d'élever à la puissance du degré — m l'expression imaginaire

p(cos9 + v/"" I sinô),

dont le module est p. On aura, en vertu de la définition des puissances négatives.

[p(cos9 -h V'— ' sin9)]"

fp(cos9 4-v/-i sin9)]'

p'"(cosmÔ-h- y/ — I sin/n0) Par suite, en ayant égard à la formule (17), on trouvera

[p(cos9 -r- y/— 1 sinô)]"'"— —^^ (cos mO — \J— i sin/wô)

ou, ce qui revient au même,

(19) [p(cos9 4- y/^ ^\nB)Y"'=p-"'{co?,mO — sf^i^'mniB).

Cette dernière formule réunie à l'équation (i3) fournit la démonstration complète du théorème X.