OU

On en conclura que, pour déterminer ces racines et ces puissances, il suffit de résoudre, l'un après l'autre, les trois problèmes suivants.

Problème I. — Trouver les diverses valeurs réelles ou imaginaires de i expression

Solution. — Soit x l'une de ces valeurs; et, afin de la présenter sous la forme générale qui comprend à la fois toutes les quantités réelles et toutes les expressions imaginaires, supposons

d? ^= /-(cos^ -I- V^— I sin^), r désignant une quantité positive, et t un arc réel. On aura, d'après la définition même de l'expression ((i))",

ou, ce qui revient au même, •

/■"(cos«^ -+- \J— I smat) = 1.

On tirora de cette dernière équation (à l'aide du théorème f, § II)

cosnt -h s/— i ^in nt ^=i, et, par suite,

cos«^::=i, sinnt =: o, nt zzz ± iki:,

k représentant un nombre entier quelconque. Les quantités r et / étant ainsi déterminées, les diverses valeurs propres à vérifier l'équation (i) seront évidemment comprises dans la formule

aÂTT , / . ikT^

(2) X zzz CO?, -^V — 1 Slll

Il ^ It

En d'autres termes, les diverses valeurs de ((i))" seront données par l'équation

(3) ((!))"= CCS '-^:^±vA=:7sin^.

Soit maintenant A le nombre entier le plus rapproché du rapport -■

La différence entre les deux nombres A, - sera tout au plus égale à -?

en sorte qu'on aura

— désignant une fraction égale ou inférieure à -? et, par suite, k' un

nombre entier inférieur ou tout au plus égal à - • On en conclura

2 A- 71 , ^ik'r^

n II

2kTZ , / . 2^-71 ik'Ti , /■ — - . 2/1 '7:

COS

— ±: y/— I sui =: COS dr y— 1 sm

Par conséquent, toutes les valeurs de ((i))" seront comprises dans la formule

qA-'tT , /- . 2k''K

ces ± y— I sm >