PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE VII

si l'on y suppose k' renfermé entre les limites o, -•, ou, ce qui revient au même, dans la formule (3), si l'on y suppose k renfermé entre les mêmes limites.

Corollaire I. — Lorsque 7i est pair, les diverses valeurs que le nombre entier k peut recevoir, sans sortir des limites o, -■, sont respectivement

Pour chacune de ces valeurs de k, la formule (3) fournit en général

deux valeurs imaginaires conjuguées de l'expression ((i))", c'està-dire deux racines imaginaires de l'unité conjuguées et du degré n. Seulement, on trouve, pour k=^o, une racine réelle +i, et, pour ^=: -, une autre racine réelle — i. En résumé, lorsque ii est pair, l'expression

admet deux valeurs réelles, savoir

+ 1, —I, avec n — 1 valeurs imaginaires conjuguées deux k deux, savoir

2 71 /- . ir. ITZ I . 2 71

ces- 1-v— isin — 1 ces v— I sin — >

Il II n II

,,^ , cos — ■ + V— I sin — ' cos V— I sin — ,

{.\) { Il II II II

cos ■ + w— I sin — ? cos ^ -— v/ — • sin -^^ •

n n II II

Le nombre total de ces valeurs réelles ou imaginaires est égal à n.

Supposons, par exemple, n = ?.. On trouvera qu'il existe deux valeurs de l'expression

m COURS D'ANALYSE.

ou, ce qui revient au même, deux valeurs de x propres à vérifier l'équation

et que ces valeurs, toutes deux réelles, sont respectivement

Supposons encore // = 4- On trouvera qu'il existe quatre valeurs de l'expression

ou, ce qui revient au même, quatre valeurs de œ propres à vérifier

l'équation

Parmi ces quatre valeurs, deux sont réelles, savoir

Les deux autres sont imaginaires et respectivement égales, la première à

IL j . il /

cos — h V — I sin - — -+- V — 1 ,

la seconde à

cos V — I sin - = — V — '

Corollaire IL — Lorsque n est impair, les diverses valeurs que le nombre entier k peut recevoir, sans sortir des limites o, -, sont respectivement

Pour chacune de ces valeurs de k, la formule (3) fournit en général

deux valeurs imaginaires conjuguées de l'expression ((i))", c'està-dire deux racines imaginaires conjuguées et du degré n. Seulement, on trouve, pour ^ = o, une racine unique et réelle, savoir -hi. En résumé, lorsque n est impair, l'expression

admet, avec la seule valeur réelle

Il — I valeurs imaginaires conjuguées deux à deux, savoir