TZ I . 2 TT

cos -t-v— isin — , cos v/— 'Sin — -,

n II an

l\ n r .471 ^Ti I . t\T.

, cos h v — 1 sin - — , cos — - — V — i sm — j

;i / ■ . \ii — \ ) Il (n — i)7T /■ . {n — i)r.

cos ^ ■ h V— » sin , cos ^ y— i siii

Le nombre total de ces valeurs réelles ou imaginaires est égal à /i.

Supposons, par exemple, n = 3. On trouvera qu'il existe trois valeurs de l'expression

ou, ce qui revient au même, trois valeurs de x propres à vérifier l'équation

et que ces valeurs, dont une est réelle, sont respectivement

2 7: / . 2 TT 2 n 1 . 2 71

cos -„ h si — I sin -r^t cos— V ' SI" "â"'

De plus, le côté de l'hexagone étant, comme on sait, égal au rayon, et le supplément de l'arc sous-tendu par ce côté ayant pour mesure -^> on obtiendra facilement les équations

cos -TT = ■> sin -r,- = 4 ■>

en vertu desquelles les valeurs imaginaires de l'expression ((i))' se réduisent à

Corollaire 111. — n désignant un nombre entier quelconque, le nombre des valeurs, soit réelles, soit imaginaires, de l'expression

((i))", ou, ce qui revient au même, le nombre des valeurs de x propres il vérifier l'équation af=i i restera toujours égal à n.

Problème II. — Trouver les diverses valeurs réelles ou imaginaires de r expression

tn

Solution. — Les nombres m^in étant supposés premiers entre eux,

on aura, d'après la définition même de l'expression ((i))" ,

((!))" ==L((on ;

puis, en remettant pour ((i))" sa valeur générale tirée de l'équation (3), on trouvera

((!))« = 1 cos —^ ± v — I sin -^1

// xxT m.2kr. , / • . fil. 1 kit

(6) (i))"r=cos ±v/— isin

/i II

tn

Pour déduire de cette dernière formule toutes les valeurs de ((i))", il ne reste qu'à donner successivement à k toutes les valeurs entières

comprises entre o et - • Soient k' , k" deux de ces valeurs supposées

inégales. Je dis que les cosinus

m.ik'-n 7n.ik"Ti

cos > cos-

fi n

seront nécessairement différents l'un de l'autre. En eflfet, ces cosinus ne pourraient devenir égaux que dans le cas où les arcs qui leur correspondent seraient liés entre eux par une équation de la forme

ni.ik'r. , , , ni.ik"r.

= it 2 /i 7T ±: 5