PREMIÈRE PARTIE. -^ CHAPITRE VU

h désignant un nombre entier. Or on tire de cette équation

Il faudrait donc, puisque m est premier à n, que ±lt ± k" fût divisible par /?, ce qu'on ne saurait admettre, attendu que, les nombres k\ k" étant inégaux, et chacun d'eux ne pouvant surpasser ^/i, leur somme ou leur diflférence est nécessairement inférieure à n. Ainsi, deux valeurs différentes de. y?: comprises entre les limites o et ^/ï fournissent deux valeurs différentes de

ni.ikTi

cos ■'

On conclut aisément de cette remarque, que les valeurs réelles ou

imaginaires de l'expression ((i))" données par l'équation (6) sont en

même nombre que les valeurs réelles ou imaginaires de ((i))" déterminées par l'équation (3). De plus, comme on a évidemment

/ m.-îkv: , I . ni.2kTi\" , ., / ■ / , .

I cos- — ; ±: \/ — I sin • i = cos (m. 2/1:71) zh y — i sin (/». 2 attî) = i,

il en résulte que toute valeur de ((1))" est une expression réelle ou imaginaire dont la puissance n équivaut à l'unité, par conséquent une

valeur de ((i))"- ^^^^ observations conduisent à la formule

(7) (('))" = ((or,

dans laquelle le signe = indique seulement que l'une des valeurs du premier membre est toujours égale à l'une des valeurs du second.

Problême III. — Trouver les diverses valeurs réelles ou imaginaires de l'expression

Solution. — On aura, d'après la définition des puissances négatives,

OFMirescleC.— s. U,i. ni. 23

puis, en remettant pour ((i))" sa valeur générale tirée de l'équation (6), et. ayant égard à la formule (9) du paragraphe précédent,

(8) ((0) "•— cos zpv/— 'Sin -•

il suit de cette dernière équation que les diverses valeurs de ((i)) "

sont les mêmes que celles de ((1))", et par conséquent égales à celles

de ((i))". On a donc

(9) ' ((or"==((0)",

le signe = devant être interprété comme dans l'équation (7). Corollaire. — Si l'on fait m = 1 , la formule (9) donnera

Supposons maintenant que l'on cherche les racines et puissances fractionnaires, non plus de l'unité, mais de la quantité — i- Les racines /i''""^'' de cette quantité, ou, ce qui revient au même, ses puissances du degré -, seront les diverses valeurs de l'expression

et de même, les puissances fractionnaires de — i, positives ou négatives, du degré — ou — — > seront les diverses valeurs de

\\n conséquence, pour déterminer ces racines et ces puissances, il sulfira de résoudre l'un après l'autre les trois nouveaux problèmes que je vais énoncer.

Problème iV. — Trouver les diverses valeurs réelles ou imaginaires de r expression