PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE VII. V

Solution. — Soit

a: r=z r{cost + \J — i sin^)

l'une de ces valeurs, r désignant une quantité positive, et^ un arc réel. On aura, d'après la définition même de l'expression ((— i))",

(11) ^« — — I ou, ce qui revient au même,

/•"(cosni -h y/— I sinn^) = — i.

On tirera de cette dernière équation (à l'aide du théorème 1, § II),

cos«^ + y/ — I sin«/ = — i,

et, par suite,

cosht=z — I, sinn^ = o, nt = ±{2 k -{- i)r.,

c — zn )

k représentant un nombre entier quelconque. Les quantités r et l étant ainsi déterminées, les diverses valeurs de x propres à vérifier l'équation (i i) se trouveront évidemment comprises dans la formule

, , ( 2 /r + I ) 7Ï , / . ( 2 A- + I ) TT

(12) j? = cos ±v/— fsin- ^•

Il n

En d'autres termes, les diverses valeurs de ((-— i))" seront données par l'équation

/ON // sh {ik -\~i)tz , . (2 A' H- 1)7:

(i3) ((— i))" =: cos ^^ ^±:v/— isin^ —-

Il II

Soit maintenant h le nombre entier le plus rapproché du rapport La différence entre les deux nombres h, — sera évidem-

ment une fraction de numérateur impair, inférieure ou tout au plus

égale à J; en sorte qu'on aura

111 nu

ik'-^ I désignant un nombre impair égal ou inférieur à n. On en conclura

( 2 A' -+- I ) 71 , ^ ( 2 A-' 4- I ) 7t ^ :=2/ni± >

COS

(2A-f-l)7l ^ ■ . (2k-^l)Tl (2A'+I)7r . / ' ,- (2A:'-f-i)7r

^^ '— ±: s — I sin ^^ -— =rcos^ =tv — ' sin —■

Par conséquent toutes les valeurs de ((— i))" seront comprises dans

la formule

COS ^ ±: i/ — 1 sin >

si l'on y suppose a/:' -h i renfermé entre les limites o, iii ou* ce qui revient au même, dans la formule (i3), si l'on y suppose 2k -+- 1 renfermé entre les mêmes limites.

Corollaire I. — Lorsque n est pair, les diverses valeurs que 2X: + i peut recevoir, sans sortir des limites o, n, sont respectivement

Pour chacune de ces valeurs de 2k -h i, la formule (i3) fournit tou-

jours deux valeurs imaginaires conjuguées de l'expression (( — i))". Par suite, cette expression, dans le cas que nous considérons ici, n'admet point de valeurs réelles, mais seulement n valeurs imaginaires conjuguées deux h deux, savoir :

/• 7: / . Tï TT / . 7Ï

COS- +v/— isin — ) COS- — V — I siii - »

} Stt / — . Stt Stt / — . St:

' COS 1- v — I sm — , COS V — ' sin — »

(n — i)7i I — . (/« — Ott {n — \)r. , . (w — i)^

cos^^- — ^— 4-v/— ism^ —, co^- V — ism

Supposons, par exemple, n—i. On trouvera qu'il existe deux valeurs de l'expression ((— i))', ou, ce qui revient au même, deux valeurs de x propres à vérifier l'équation

et que- ces valeurs, toutes deux imaginaires, sont respectivement