TT I

Corollaire IIl. — n désignant un nombre entier quelconque, le nombre des valeurs, soit réelles, soit imaginaires, de l'expression

((— i))", ou, ce qui revient au même, le nombre des valeurs de x propres à vérifier l'équation x" =■ — i, restera toujours égal à n.

Problème V. — Trouver les diverses valeurs réelles ou imaginaires de l' expression

i ((-or.

Solution. — Les nombres m et n étant supposés premiers entre eux,

on aura, d'après la définition même de l'expression ((— i))".

((-•))" = [((- on ;

puis, en remettant pour ((— i))" sa valeur générale tirée de l'équation (i3), on trouvera

?? /?l ( 2 /.• + I ) TT , / . W ( 2 A- -(- I ) 7t

(i6) ((- 0)" == cos- 3= v/- I sin

1)1 Pour déduire de cette dernière formule toutes les valeurs de ((— i))",

il ne reste qu'à donner successivement à 2^h-i toutes les valeurs

entières et impaires comprises entre o et n. Soient 2k' -^ i, ik" -\- 1

deux de ces valeurs supposées inégales. Je dis que les cosinus

miik' -\- \)v: m ( 2 /c" -h i ) t:

cos — ^ —, cos — ^ —

seront nécessairement différents l'un de l'autre. En effet, ces cosinus ne pourraient devenir égaux que dans le cas où les arcs qui leur correspondent seraient liés entre eux par une équation de la forme

h désignant un nombre entier. Or on tire de cette équation

Il faudrait donc, puisque m est premier à n, que le nombre entier

fût divisible par n, ce qu'on ne saurait admettre, attendu que, les nombres ik -\- 1, ik" ^\ étant inégaux, et chacun d'eux ne pouvant surpasser n, leur demi-somme, et, à plus forte raison^ leur demi-dilï'érence, est nécessairement inférieure à n. Ainsi deux valeurs différentes de nk + i comprises entre les limites o et n fournissent deux valeurs différentes de

cos

On conclut aisément de cette remarque que les valeurs réelles ou ima-

ginaires de l'expression ((— i))" données par l'équation (i6) sont au

nombre de n, comme celles de ((i))" et de ((— i))". De plus, comme on a évidemment

COS

±: V — I siri

^= cosm(2 A- 4- i)t: ±: \J — i sinm(2 A: + i)7î— (— i)"'==±: i,

il en résulte que toute valeur de ((— i))" est une expression réelle ou imaginaire dont la puissance /i"™^ équivaut à =hi, par conséquent,

une valeur de ((i))" ou de ((— i))". Cette remarque conduit à l'équation

toutes les fois que (— 1)'"=: i, c'est-à-dire toutes les fois que m est un nombre pair, et à la suivante

lorsque (— i)'"= — i, c'est-à-dire lorsque m est un nombre impair. Ajoutons que l'on peut comprendre les équations (17) et (18) dans une seule formule, en écrivant