III
Corollaire. — Si l'on fait m -= 1, la formule (23) donnera
En terminant ce paragraphe, nous ferons remarquer que les équations (3), (G), (8), (i3), (\6) et (20), à l'aide desquelles on détermine les valeurs des expressions
OEin-ns de C, S. n, 1. III. 24
peuvent être remplacées par deux formules. En effet, si l'on désigne par a une quantité positive ou négative dont la valeur numérique soit fractionnaire, la valeur de ((i))'" déterminée par l'équation (3), (6) ou (H) sera évidemment
(25) ((i))«=: coS2/ca7r ± \J — I sinaX-a;:,
tandis que la valeur de ((— i))" déterminée par l'équation (i3), (16) ou (20) sera
(26) ((— i))" = cos(2X: + i)a7r ± \/~ ' sin(2A- + i)a7r.
Dans les deux formules précédentes, on peut prendre pour k un nombre entier quelconque.
§ IV. — Sur les racines des expressions imaginaires et sur leurs puissances fractionnaires et irrationnelles.
Soit
une expression imaginaire quelconque. On pourra toujours trouver {voir le § II) une valeur positive de p et une infinité de valeurs réelles de 0 propres à vérifier l'équation
(r) a 4- 6 y/— i — p(cos5 + ^ — i sin^).
Cela posé, concevons que l'on désigne par m et n deux nombres entiers premiers entre eux. Si l'on fait usage des notations adoptées dans le § I, les racines /i'«'"«^' de l'expression a -h êy — i , ou, ce qui
revient au même, ses puissances du degré -, seront leç diverses valeurs de
sjj^ + 6 sj-=r, = ((a + s v/--^))'';
et, de même, les puissances fractionnaires de a h- ^ y — ^ positives ou négatives, du desré — ou ■> seront les diverses valeurs de
((a + 6v/"-i))" ou ((a + 6v'--~i))~".
En conséquence, pour déterminer ces racines et ces puissances, il suffira de résoudre l'un après l'autre les trois problèmes suivants : Problème l. — Tromper les diverses valeurs de l' expression
Solution. — Soit
œ z=. /(cos^ + \/— 1 sin/)
l'une de ces valeurs, r désignant une quantité positive et t un arc réel.
On aura, d'après la définition même de l'expression ((a -+- ^\! — i))",
(a) a;" — a -H Sy/— 1 = p(cosS + v/— I sinô),
OU, ce qui revient au même,
/■"(cos/i^ + V^~ • sinrt^) — p(cos6' + y'— i sin6').
On tirera de cette dernière équation, à l'aide du théorème I, § II,
/ — ,J, cos nt H- v'^ — I sirirt^ = cosô + \^ — i sin9
et, par suite,
cosnt r—cos6, sin nt =■ sind, «^ z= 9 dr 'iA'Tr,
k représentant un nombre entier quelconque. Les quantités r et / étant ainsi déterminées, les diverses valeurs de x propres à vérifier l'équation (i) seront évidemment comprises dans la formule
j, / ô±2krL I . 6 ±.2 A- 71
