PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE VII

Dans les calculs qui précèdent, p désigne toujours le module de l'expression iuiaginaire a^-êy^— i, c'est-à-dire la quantité positive v/a^+ê-, et 6 l'un quelconque des arcs propres à vérifier l'équation (i) ou, ce qui revient au même, les équations (l\) du § 11, savoir

ces B = •>

Si' a' + ê^ (■o) \

sin

En divisant ces deux dernières l'une par l'autre, on en conclura

g (il) tang9= -•

Par suite, si l'on nomme t le plus petit arc, abstraction laite du signe,

g qui ait pour tangente -^ ou, en d'autres termes, si l'on fait

(12) Ç:::^ arclang- j

on trouvera

(i3) lang() = tangC-

Gela posé, il deviendra facile d'introduire au lieu de l'arc 0, dans les diverses formules rapportées plus haut, l'arc '(, dont la valeur est complètement déterminée. On y parviendra, en effet, par les considérations suivantes.

Les arcs 0 et '(, ayant la même tangente, auront aussi, abstraction faite du signe, le même sinus et le même cosinus; et, comme d'ailleurs l'équation (i3) peut se mettre sous la forme ^

sin0 sinÇ

cos^ cosÇ

il est clair que, pour y satisfaire, on devra poser en même temps ou

(i4) cos9 = cosC> sinô — siiis

ou bien

(i5) COS0— - cosÇ, sinÔ=:— sinC-

De plus, la valeur de cosô déterminée par la première des équations (fo) étant évidemment de même signe que a, tandis que l'are s compris entre les limites — ;-> H- - a toujours un cosinus positif, il

en résulte que, des équations (i4) et (i5), les deux premières subsisteront, si a est positif, et les deux dernières, si a est négatif. Voyons maintenant à quoi se réduisent, dans ces deux hypothèses, les formules (i) et (9).

Si d'abord on suppose a positif, les équations (10) pourront être remplacées par les équations (14)» t3t l'on déduira de celles-ci une; infinité de valeurs de 0, parmi lesquelles on doit remarquer la suivante :

Lorsqu'on fait usage de cette valeur, les formules (t) et (9) deviennent respectivement

(17) a + Ç>\l— I = p(cosC + V'— 1 sinC),

(18) ((« + 6y/Zri)y'— p«(cosaC + v ---^sin«Ç)((i))'».

Si l'on suppose en second lieu a négatif, les équations (10) pourront être remplacées par les équations (i:^), desquelles on déduira, entre autres valeurs de 0,

Par suite, on pourra, dans cette hypothèse, aux formules (i) et (9) ^substituer celles qui suivent :

(20) a -t- £ v'— I T= — p(cos? + y— I sn'Oî

(21) < — p«fcus(a^-f-a7:) + v'--"' s^n(«^^- «7r)|((i))''

\ -=.: p,«(cosrtv -r \'—- 1 sinrtÇ) (cosa- -f- v "" ' sin^;:) ((«))''•

Si l'on fait en particulier ce -h ^\'— i = — 1 , c'est-à-dire 7. = — i ,