PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE VIL
^ = o, on trouvera
Ç = arc tang = o,
et la formule (21) deviendra
(22) ((— i))"=(cosofT: + v/--^sinrt7i)((i))''.
11 en résulte qu'on aura généralement dans l'hypothèse admise
(23) ((ce + êv/^^Oy'^pKcosaC + V^^^^sin^OCC-i))"-
En réunissant aux formules (17), (18), (20) et (23) les équations (25) et (26) du § III, on obtiendra définitivement les conclusions suivantes. Soient aH-êy/— i une expression imaginaire quelconque, a une quantité positive ou négative dont la valeur numérique soit fractionnaire, et k un nombre entier choisi arbitrairement. Si l'on fait, de |)lus,
(24) p = v/a'-^ê-, Ç=rarclang-»
on aura, pour des valeurs positives de a,
[ a + oy^^ = p(cosÇ + v''— I sinC),
(25) < ((a-f-êv/^))''=:p«(cos«C + v'^^si"«0((')VS ( ((1))''=: cos2/ra7T ± V^— ' sin2/ra7r,
et, pour des valeurs négatives de a,
/ a H- 6 y/ — I — — p(cosÇh- y/— I sinC), (26)' ] ((a4-6v/^))'' = p"(cosaC + \/^^sinaÇ)((-i))«,
l ((— 0)"= cos(2A- 4- I «tt) =b y/— I sin(2/: -H I aiz).
On doit ajouter que, si l'on désigne par n le dénominateur de la fraction la plus simple qui représente la valeur numérique de a, n sera précisément le nombre des valeurs distinctes de chacune des expressions
((or, ((-0)% ((a + êv/=^))%
et que, pour déduire ces mêmes valeurs des formules (25) et (26), il
OEuvrcsdeC. — 'S.W, X.\\\. 25
suffira d'y substituer successivement, au lieu de ik et de ik + \, tous les nombres entiers qui ne sortent pas des limites o et /i.
Si la valeur numérique de a devenait irrationnelle, chacune des
expressions réduites
C0S2 Aa;: ih \J — i sin2 A-^tï,
cos(2/v -h irtTr) ±: y/— i 8111(2^ + 1 aTï),
aurait un nombre indéfini de valeurs correspondantes aux diverses valeurs entières de k\ et, par s-uite, on ne pourrait plus admettre dans le calcul les notations
((Or, ((-!))«, ((a + êv/:=^))^
à moins de considérer chacune d'elles comme propre à représenter une infinité d'expressions imaginaires distinctes les unes des autres. Pour éviter cet inconvénient, nous n'emploierons jamais les notations dont il s'agit que dans le cas où la valeur numérique de a sera fractionnaire.
Parmi les diverses valeurs de ((i))'", il en est une toujours réelle et positive, savoir, -hi, que l'on indique par la notation (t)'' ou 1", en faisant usage de parenthèses simples, ou même les supprimant entièrement. Si l'on substitue cette valeur particulière de ((r))'' dans la seconde des équations (25), on obtiendra une valeur correspondante de
((a + ôv^--.))",
que l'analogie nous porte à indiquer, ii l'aide de parenthèses simples, par la notation
C'est ce que nous ferons désormais. Par suite, on aura, en supposant a positif, et les quantités p, 'C déterminées par les équations (24),
(27) (a -f- ^\[— i)*= p'*(cosaÇ + y/ — i sinaÇ).
Cette dernière équation ayant lieu toutes les fois que la valeur numérique de a est entière ou fractionnaire, l'analogie nous conduit encore à la considérer comme vraie dans le cas où cette valeur numérique
