PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE VU

devient irrationnelle. En conséquence, nous conviendrons de désigner par

le produit p'*(cosrt'C 4- \J— i sina'()» <^la"s le cas où a sera positif", quelle que soit la valeur réelle attribuée k la quantité a. En d'autres ternies,

si l'on désigne par C un arc compris entre les limites -^ H — ? on

aura, quel que soit a,

[p(cosÇ + s/— I sinC)J''=p'^(cosa^ + \/— i sinaÇ). Si dans l'équation précédente on fait p = i, elle deviendra

(28) (cosC + \/— I sin ?)''=: cos (7 C + V^— I sinaC.

Cette dernière formule est entièrement semblable aux équations (10) et (i4) du § II, avec cette seule différence qu'elle subsiste uniquement

pour des valeurs de t comprises entre les limites -} + -:. tandis

que les équations dont il s'agit s'étendent à des valeurs quelconques de 0.

Lorsque la quantité a devient négative, on ne voit plus, même en supposant fractionnaire la valeur numérique de a, quelle est celle des valeurs de l'expression ((a h- ê y/— i))" que l'on pourrait distinguer des autres et désigner par la notation

Mais alors, — a étant une quantité positive, il est facile d'établir, pour des valeurs quelconques de a, la formule

(29) (— a — 8y/— i)"n:T p«(cos«Ç + \/^ I sinaÇ).

Nous terminerons ce paragraphe en faisant observer que, dans le cas où la valeur numérique de a devient fractionnaire, les formules (27) et (29) réduisent les équations (18) et (23) à celles qui suivent

l'équation (3o) ayant lieu seulement pour des valeurs positives de la quantité a, et l'équation (3j) pour des valeurs négatives de la même quantité.

§ V. — Applications des principes établis dans les paragraphes précédents.

Nous allons appliquer les principes établis dans les précédents paragraphes il la résolution de trois problèmes sur les sinus et cosinus.

Problème I. — Transformer s'mmz et cosmz (m désignant un nombir entier quelconque) en un polynôme ordonné suivant les puissances ascendantes et entières de sin:;, ou du moins en un produit formé par la multiplication d'un semblable polynôme et de cos^.

Solution. — Lorsque dans les équations (12) du § II on remplace les puissances paires de cos^ par des puissances entières de i — sin-:;, ces équations deviennent, pour des valeurs paires de jn,

COSW^ r=: (i — Slll-^)^ -^ -^(l — Slll'^) ^ %\K\^ Z