PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE VII

Si l'on développe les seconds membres des quatre formules précédentes, ou du moins les coelficients de cos^ dans ces seconds membres, en polynômes ordonnés suivant les puissances ascendantes et entières de sins, on trouvera, pour des valeurs paires de m,

m f m — I î cosm- =z I 1 — ) sm'-'^

t( /;< — I ) ( «i — 3 ) /?z -— I 3 3.11., > ~ — -\ - 4 j\ sirr 2.4 2 2 2.4J

[ m . m (ni — 2 ) / w — i 3 , . , sin/n-3 = cos^ — siii^ r, — - 1 — sin^z

m{in — -2){i)i — ^)[{m — i)(/?t^3) m — 1 5 5.3

4) l{m-i)in

et, pour les valeurs impaires de m,

siri'^î

Q.Q'&mz =. cos5^ I — — -I — 1 sm'''

( m — i) { m — 3) [ ni{m — 2 ) m 3 3 . i

tni(m — 2 ) m 3 3 . 1 1 . , — ^ ', 4 \ 7 sin*z — 2.4 2 2 ^.4J

>7i . tn{ni — i) f m — 2 3

smm:; z= — sin^ ?; H — | sni''

//i ( wi — \) {m — ?>) V{?n— 1) {w — 4 ) ''' — 2 5 5.3

[(/H — 2) (m — 4 ) 'f> — 2 5 5.3"! . . — — H 1 y\ sin-^ 2.4 2 2 2.4J

Les équations (i) et (2) comprennent évidemment la solution de la question proposée. Il ne reste plus qu'à les présenter sous la forme la plus simple. Pour y parvenir, il suffira d'observer que le coefficient de chaque puissance entière de sins renferme généralement une somme de fractions à laquelle l'équation (5) du Chapitre IV (§ III) permet de substituerune fraction unique. Par suite de cette réduction, les développements de cosms et de s'inmz deviendront, pour des valeurs paires de m,

/ ni.ni . „ ( /;^ + 2 ) m . m (m. — 2 ) . ,

l coiuizz^ t sin^5 + ^ rr— / ^siii^s

- - ■ — — — :^ ;; — r — SUTS -f- . . .

et

i sinmz =cosz\ ~ s\nz — >^ ^sin^-:;

et, pour des valeurs impaires de m.

i cosmz =1 C0S5 I

( ^ Ï~r34 sin.-...J,

(m-\-ô)(m-hi)m(m — i) ( m — 3 ) . ,

^sin^^— ....

I .2.3.4.5 Corollaire L — Si dans l'équation (3) on fait successivement

m = 9, m rr 4, /?« -= 6, . . . ,

on obtiendra les suivantes :

/ cos2s=j — 2sin**,

. . *cos4s = i— Ssin^c-H Ssin^::,

I cos63 — I — 18 sin^5 + 48sin*- — 32 sin*^^,

Corollaire II. — Si dans l'équation (6) on fait successivement m = i , m = 3, m = 5, . . . ,

on en tirera

sin z rzr. sine,

„ 1 sinSe =r 3 sine — 4sin^e,

sin5e =: 5 sine — 20 sin'e + 16 sin^e,

Problème II. — Transformer sin/?2:; et cosmz (m désignant un nombre entier quelconque) en un polynôme ordonné suivant les puissances ascen-

PRExMIÈRË PARTIE. - CHAPITRE VII. 199

dantes et entières de coss, ou du moins en un produit formé par la multiplication d'un semblable polynôme et de un z.

Solution. — Pour obtenir les formules qui résolvent la question proposée, il suffît de remplacer, dans les équations (3), (4), (5) et (6), z par - — ;^, et d'observer en outre qu'on a, pour des valeurs paires de m,

cos( — ■' — //i5 I = (— i)^ cos niz,

mz\-=z{ — i)- %\winz\

et, pour des valeurs impaires de m,

cos( — - — mz\z=z{ — i) ^ sin/n^,

sin ( mz\z={—i) ' cosmz.

On trouvera de cette manière, si m est un nombre pair,

^ m. m , (m-\-2)ni.m(rn — 2 )

{ T -^- ' . • r "i (m -^ 1) mim — 1)

\ (—1)" Sm/«^ = SH15 — cos^ ^ cos^^

({ni-{-[\){m-\-i) m(m — i){ni — 4) - 1

-h 5 — 7 — ;:; COS" Z — ... 1 ; I .2. 3. 4-3 J

et, si m est Un nombre impair,

i(— i) -^ sinm- =: 81113 I — ^^ ^ ^cos-^

(il) < ^

f -1 — ,5 — -, — COb -u — ... I ,

l(--l) - COS//t-S = -— COS« t; COS'^^

~h — „ \ ■ . ~ -cos^z —

Corollaire I. — Si clans la formule (9) on fait successivement

m = 2, m 1= 4> m ^=rQ, . . , ,

on obtiendra les suivantes :

— cos2x;^i — 2 cos^^,

„ , cos4-~i— 8cos^s+ 8cos*5,

— cos6^ := I — 18 cos^^ + 48 COS^Z- — 32 cos^^,

Corollaire IL — Si dans l'équation (12) on fait successivement

m=: i, m r= 3, m = 5, . . . , on en conclura