COS - I

Dans cette dernière supposition, la formule (i5) donnera

ou, ce qui revient au même.

attendu que la somme des termes correspondants à m = 2 A- -h I ou m — A- = A- H- I ,

c'est-à-dire, la somme des termes qui renferment des arcs de la forme

disparaîtra de la fonction f(/).

Enfin, dans la formule (i8), que l'on peut encore écrire comme il suit

in = k / = /• + !

le facteur

ces m\ t — i: — -,

pourra être réduit au produit

cos/7îi cosm r +

si f(^) est une fonction paire de /, c'est-à-dire, si l'on a

(20) f(i) =: «0+ «1 COS^ + «2 C0S2t -Jr ...-]- a^ COSAt,

et au produit

/ tJ

siïi77it sinm T +

si f(^) est une fonction impaire de t, c'est-à-dire, si l'on a *

(21) f(i) =: ^0+ Z>j sin^ H- ^2 sinaf + . . .+ ^^. sinA^.

Dans le second cas, en posant t = o, on pourra réduire la formule (19) à la suivante

en sorte qu'on aura

i=k - 20. -nml „/ rJ \

k -\- 1 VJ k~\-i \k-\-\J

comme Lagrangc l'a trouvé dans le Tome III des anciens Mémoires de l'Académie de Turin.

Concevons maintenant que les valeurs particulières de /, représentées par

tj, tj, • • • > l'Ut

forment une progression arithmétique dont la raison o difï'ère de -^^ et coïncident, par exemple, avec les divers termes de la suite

On pourra déterminer encore la valeur générale de f(/), non seulement à l'aide de l'équation (2), mais aussi à l'aide de la formule [^), pourvu que, dans cette dernière formule, on suppose n =-- -ik + i, et

la valeur de 'hix) étant

„, , sin(A-4-|)o ,, sin(A- + |)p sinAp ,.,

sin(A-+ ^)psinA-p , sin(A--4-i)p

sin^psinp sinp

Les diverses formules qui précèdent peuvent être facilement étendues au cas où il s'agit de déterminer la valeur générale d'une fonction entière des sinus et cosinus de plusieurs arcs

d'après un certain nombre de valeurs particulières supposées connues. Cette extension est semblable à celle des formules que nous avions d'abord obtenues dans le § I.

La formule (2), ainsi que plusieurs de celles qui en ont été déduites, et la formule (23) elle-même, sont extraites du Mémoire que j'ai présenté à l'Académie de Turin le 11 octobre i83i, et qui a été paraphé à cette époque par le secrétaire de cette Académie, puis lithographie en grande partie, et avec quelques additions, en i832. La formule (ro)

en particulier se trouve étal)lie pour les valeurs

2/. -h r et 2/1+2

du nombre n, puis étendue au cas où l'on considère une fonction entière des sinus et cosinus de deux arcs t, t' , et enfin appliquée à des problèmes de Mécanique céleste, dans le § III du IMémoire litbograpliié.

Analyse algébrique. — Sur le développement cVane fonction entière du sinus et du cosinus d'un arc en série ordonnée suivant les sinus et cosinus des multiples de cet arc.