I -f ^((f(.r,r,)D,lJ"(.r,v

le signe !S étant relatif aux seules valeurs de x qui véritieront l'équalion

(]ola posé, combinons entre elles, par voie d'addition, la formule (9^ et les formules analogues. Nommons

la somme totale des valeurs de l'intégrale

correspondantes, non seulement aux diverses valeurs v,, y,,, ... de y considérée comme fonction de x, mais encore, pour chaque valeur de y, aux diverses valeurs de x qui vérifient l'équation (8), en sorte

(|ii 011 ail

(lO)

.$=> / ({jc, r^) dji- ^\ I r(x, vj r/x +. . .,

le signe ^ se rapportant, dans le premier terme de la valeur de .v, aux seules valeurs de v qui vérifient l'équation

dans le second terme, aux seules valeurs de ,r qui véritieiit ré(iualioM

Enfin posons, pour abréger,

(II) {\j:,y^)l^{.r,y^, t) + f(^, jjl .î'(.r,r,„ 0 +• • • = n(.r, n.

On trouvera

) )) cit.

-/ ^^((I)JII(.r,^

Jx

Pour plus de simplicité, on peut écrire

(i3) s^ ï^{{\\{x, t) ~\\{x,^))) - f ^[{ï),\n{.i;f.)))dt,

pourvu que, dans l'expression

^((Il(.r,0-1I(^',T))),

on étende l'extraction de résidus indiquée par le signe ^ aux seules valeurs de -x- ([ui rendent infinies les fonctions

Il est bon d'observer que, en vertu de la formule (i i),

sera une fonction symétrique des racines de l'équation (7). On aura

donc par suite, sous les conditions indiquées par le calcul des résidus,

Or, de la formule (i3), jointe à la formule (r4), on tirera

(i5) .vrz: r((n(^,o-n(^-,r)))- r— ^-^ ^ ^^

Supposons maintenant que, dans la formule (6), on remplace f(œ)

par

j, :;,... étant des fonctions de oo, liées à x par certaines équations

Supposons d'ailleurs qu'à l'équation (7) on joigne une autre équation de la forme

(17) ri{œ,v,z, ...,t) — o,

dont le premier membre soit fonction de j, ^, ... et de la nouvelle variable t. Si l'on nomme s la somme des valeurs de l'intégrale

H^>y^^y •• .)dx,

correspondantes, non seulement aux divers systèmes des valeurs de j, :^, . . ., considérées comme fonctions de x, mais aussi aux diverses valeurs que fournira l'équation (17) pour la variable x considérée comme fonction de t; alors, par une marche entièrement semblable à celle que nous avons suivie tout à l'heure, on arrivera encore aux formules (i3) et (i5), pourvu que l'on pose

(18) Ti{œ,t)=l{{x,y,z,...)\f^{x,y,z,...,t),

la sommation que le signe 2 indique s'étendant aux divers systèmes de valeurs de 7, 5, ... qui vérifient les équations (16).

§ III. — Exemples.

Nous donnerons, dans d'autres Mémoires, de nombreuses applications des formules ci-dessus établies et en particulier de la formule (i 5) du § II. Aujourd'hui, pour mieux constater l'exactitude de cette formule, nous nous bornerons à en déduire quelques théorèmes déjà connus, ou quelques résultats que l'on puisse aisément vérifier à l'aide des méthodes d'intégration généralement adoptées.

Supposons d'abord que l'équation (7) du § II se réduise à

X étant une fonction entière de la seule variable x. Supposons encore que le premier membre i[x,y, t) de l'équation

soit une fonction entière des variables x, j, et que l'on ait

f(^) désignant une fonction rationnelle de la variables. Les diverses

racines

yn 7//' ////' •••

de l'équation (1) seront respectivement proportionnelles aux diverses racines /i'^""^' de l'unité; d'où il suit que leurs puissances positives ou négatives, du degré m ou du degré — m, offriront une somme nulle, quand m sera un entier non divisible par n, en sorte qu'on aura, par exemple,

D'ailleurs, si l'on pose, pour abréger,

(5) ct(^, 0= - l'f(^,/„0 + ^ Kf(^,.)'„0+---»

J / j II

OF.uvres de C. — S. 1, t. VI. 23

la formule (i i) du § II donnera

et, comme de l'équation (5), combinée avec la formule (4), on tirera

'■/ l^ia:, o, l)\ y, I S{jr, o, t) J

il est clair que la fonction xxi[x,t) ne deviendra point infinie avec les

facteurs

De celte remarque, jointe à l'équation (6), on conclura que, dans la formule (i5) du § ï, l'expression

peut être réduite à

Donc, en vertu de cette môme formule, la valeur de la somme

sera

On ne devra pas oublier que, dans le premier membre de la formule (8), la sommation indiquée par le signe 111 s'étend, non seulement à toutes les valeurs de y qui vérifient l'équation (i), mais aussi, pour chacune de ces valeurs de y, à toutes les valeurs de x qui vérifient l'équation (2).

EXTRAIT N" 126. Hl

Si, dnns la formule (8), on pose en particulier

a désignant une constante arbitrairement choisie, on trouvera simplement

Enfin, si l'on prend /i = 2, on aura, dans les formules (8) et (9),

y I y II

ou, ce qui revient au même,

(10) gt(^, 0 = -7=I

La formule (8) coïncide au fond avec celles que renferme un Mémoire de M. Broch, inséré dans le t. 20 du Journal de M. Crelle, savoir, lorsque n est un nombre pair, avec la formule (58) de ce Mémoire, et lorsque n est un nombre impair, avec la formule (09) {ibidem). Le cas particulier où l'on suppose /^ = 2 est celui qu'Abel avait déjà traité [voir le t. I des OEuçres d'Abel, Mémoire XV). Ajoutons que, dans le cas où les fonctions implicites de x, représentées par y, z, ..., se réduisent à une seule, et où

sont des fonctions entières des variables x, y, la fonction

étant elle-même une fonction rationnelle de ces variables, la valeur de la somme s pourrait être déterminée à l'aide d'une formule qui a été donnée par Abel dans le Mémoire couronné, et qui doit nécessairement s'accorder avec la formule (i5) du § IL

Lorsque {{x) se réduit à une fonction entière de x, dont le degré.

augmenté d'une unité, reste inférieur à la moitié du degré de la fonction X, la formule (8) donne simplement

Cette dernière formule comprend, comme cas particulier, le théorimie d'Euler relatif à l'intégration de l'équation

d.T dv

dans laquelle GT(.r) représente une fonction entière de j? du quatrième degré.

Concevons maintenant que l'on veuille se servir de la formule (i5) du § II pour déterminer la somme s des diverses valeurs d'une intégrale dont la dérivée renferme deux fonctions implicites j, z de la variable principale x; et, pour donner un exemple de cette détermination dans un cas très simple, supposons que l'on ait

(12) y^- ■=^ c(. -{- X , z^T=^cf. — Xy

a désignant une quantité positive. Supposons encore que la variable principale x soit liée à la nouvelle variable t par l'équation

et que l'intégration relative à t s'effectue entre deux limites positives dont la plus grande ne dépasse pas v/2a. Comme on tirera des équations (12) et (i3)

et, par suite,

(lo) XT=z.t\y. — —\ OU ^rr:— dje — yj ,

l'intégration relative à x s'effectuera elle-même entre deux limites ou positives ou négatives, mais dont les valeurs numériques ne dépasse-

ront pas le nombre a. Ajoutons que l'on déduira de la première des formules (12) deux valeurs de j, savoir

et de la seconde des formules (12) deux valeurs de z, savoir

z =^\Ja. — jo , ^ = — y/a — x .

Or, t restant par hypothèse positif et inférieur à y^aa, il faudra, pour

vérifier l'équation (i3), supposer nécessairement, ou

y r=:. sj a -\- X , zz=:\Jy. — X, ^ — / ( a -j-

OU

y=—\Jc(.^x, z-=z — sja — X, x =1— tiy. — —

Mais l'équation (i3) ne pourra plus être vérifiée si l'on y suppose

yz=z\Ja-\-x, zrzz — \Jix — X ,

ou bien

y=i — sjy. -\- X , z^i^y. — x .

Cela posé, soit

une fonction rationnelle quelconque de x, y, z, et faisons, pour abréger,

La somme

5 r= \ / {{x, y, z) dx

des valeurs de l'intégrale

/ fC^,/,-)^-^

qui correspondent, non seulement aux diverses valeurs de y et de z tirées des formules (12), mais aussi, pour chaque système de valeurs de 7 et de z, aux diverses valeurs de x tirées de la formule (i3), se

réduira simplement à

I f{ûr, y/a + a:, \] cf. — x) dx H- / ^[x,— sj <x -^ x,—\J(x — x) dx,

OU, ce qui revient au même, à

= / \{{x,\Ja.-^ X, \J(x — x) — f(— X, — \Ja — x, — y/a + J?)] dx.

Telle est la somme dont l'équation (f 5) du § II déterminera la valeur. Fin d'autres termes, on aura

(i6) s=: I [^i{x, y/a + a;, y/a — x) — f(— x, — y/a — x, — y/a + x)^dx,

les limites H, x de l'intégration relative à ce étant liées à ^ et à t par les

formules

Si, pour fixer les idées, on prend

['{x) étant une fonction rationnelle de x; alors, en posant, pour abréger.

y/a H- ^ + y/a — x \ Joe -h x — y/a — x -\- t (i8)

sja -\- X — y/a — x \ \Jol-\- x -^ \Jot. — x + t on tirera de la formule (i 5) du § II

(19)1 ^a^fXo)l(^^^^^^^^^^^) + £[r^(^,0-tîT(^,r)]((|Xx))^ j \2y/a + ^ 2 y/a — T/

Si l'on pose, en particulier, f(^) == i, on trouvera

r dx a' /,

J . sJoi. + X -\-\Ja — œ 2 y

► y/a + X + sjct — X 2^2 \fô^ + t 2 y/a H-

X étant toujours lié à /, et ^ à t, par les formules (17) ou, ce qui revient au même, par les suivantes :

(21) ^ = y/a -\- X — y/a — x , r = y/a -h c, — \'cf. — ç .

Il est d'ailleurs facile de vérifier l'exactitude de la formule (20), soit à l'aide des méthodes d'intégration généralement suivies, soit même à l'aide de la seule différcntiation de ses deux membres.

Analyse mathématique. — Mémoire sur la nature et les propriétés des racines d'une équation qui renferme un paramètre variable.