C. R., t. XII, p. II 33 (21 juin
Les racines d'une équation qui renferme deux variables x, t, et que l'on résout par rapport à la variable x ou, ce qui revient au même, les racines d'une équation qui renferme, avec l'inconnue x, un paramètre variable t, jouissent de diverses propriétés qu'il importe de bien connaître. L'une de ces propriétés est que ces racines sont généralement des fonctions continues du paramètre variable, en sorte qu'elles varient avec ce paramètre par degrés insensibles. Il en résulte que, si, en vertu de la variation du paramètre, une racine réelle vient à disparaître, elle sera immédiatement remplacée par des racines imaginaires. Cette dernière proposition n'est pas h beaucoup près aussi évidente qu'elle semble l'êlre au premier abord. Il est d'autant plus nécessaire de la démontrer qu'elle ne subsiste pas sans condition. En effet, puisque la forme de l'équation entre x et t est entièrement arbitraire, rien n'empêche de donner pour racine x à cette équation une
fonction discontinue du paramètre /, par exemple, la fonction
et il est clair que, dans ce dernier cas, x variera très sensiblement, en passant d'une valeur très petite à une valeur très grande, si le paramètre /, en demeurant très voisin de zéro, passe du négatif au positif.
Pour que l'on soit assuré que la racine x, considérée comme fonction du paramètre t, reste continue dans le voisinage d'une valeur particulière attribuée à ce paramètre, il suffit que le premier membre de l'équation donnée reste lui-même fonction continue des deux variables x, t, dans le voisinage de la valeur particulière de t, et de la valeur correspondante de x. C'est ce que je démontre, en m'appuyant sur un théorème que j'ai donné dans un Mémoire présenté à l'Académie de Turin le 27 novembre 1 83 1. De ce théorème, qui détermine, pour une équation algébrique ou transcendante, le nombre des racines réelles ou imaginaires assujetties à des conditions données, je déduis immédiatement la continuité de la fonction de t qui représente la racine x de l'équation donnée entre x et t; et j'en conclus, par exemple, que si, celte équation étant réelle, plusieurs racines réelles égales viennent à disparaître, elles se trouveront généralement remplacées par un pareil nombre de racines imaginaires.
Le § I du présent Mémoire est relatif à des équations entre x et t de forme quelconque. Dans le § II je considère des équations d'une forme particulière, savoir celles qui fournissent immédiatement la valeur de t en fonction de x. Parmi les équations de ce genre, on doit surtout remarquer celles qui donnent pour t une fonction réelle et rationnelle de x. Une semblable équation, résolue par rapport à x, ne peut avoir constamment toutes ses racines réelles, pour une valeur réelle quelconque de t, que sous certaines conditions, dont l'une est que les degrés des deux termes de la fraction rationnelle soient égaux, ou diffèrent entre eux d'une seule unité. Les autres conditions consistent en ce que les deux fermes, égalés à zéro, fournissent deux nouvelles équations, dont toutes les racines soient réelles et inégales.
et que la suite de toutes ces racines réunies et rangées d'après leur ordre de grandeur offre alternativemerit une racine de l'une des deux nouvelles équations, puis une racine de l'autre. Lorsque ces diverses conditions sont remplies, on peut être assuré, non seulement que l'équation proposée, résolue par rapport à r, a toutes ses racines réelles et inégales pour une valeur quelconque de /, mais encore que chacune de ces racines, pour une valeur croissante de /, est toujours croissante ou toujours décroissante tant qu'elle reste finie. Quelques propositions établies par M. Richelot (voir le Journal de M. Crelle, t. 21, p. 3i3) se trouvent comprises dans celles que je viens d'énoncer.
Analyse.
Me proposant de publier dans les Exercices d' Analyse et de Physique mathématique le Mémoire dont l'objet vient d'être indiqué, je me bornerai à énoncer ici les principaux théorèmes qui s'y trouvent renfermés, et qui, pour la plupart, se déduisent les uns des autres, en omettant les démonstrations que l'on retrouvera sans beaucoup de peine, surtout si l'on a égard à l'ordre dans lequel ces théorèmes sont présentés.
§ I. -^ Considérations générales.
Dans le § I, j'établis successivement les théorèmes suivants :
Théorème I. — Nommons
deux valeurs finies et correspondantes de t et de x^ propres à vérifier V équation
et dans le voisinage desquelles la fonction Y[xy t) reste continue par rapport aux variables x, t. Si Ton attribue à la variable t une valeur très peu différente de z, par conséquent une valeur de la forme
OFMvresdeC.— ^.\.\..y\. 23
i désignant un accroissement infiniment petit, positif ou négatij ou même imaginaire, l'équation (i), résolue par rapport à x, offrira une ou plusieurs racines x très peu différentes de^, et dont chacune sera de la forme
j désignant encore une expression réelle ou imaginaire, infiniment petite, qui convergera en même temps que i vers la limite zéro. De plus, le nombre de ces racines sera précisément le nombre de celles qui se réduiront à ^ dans Véquation
Théorème II. — ^[x,t) étant une fonction réelle et déterminée des variables x, t, nommons
deux valeurs réelles et finies de x et de t, qui vérifient Véquation
et dans le voisinage desquelles la fonction Y[x, t) reste continue. Siz représente une valeur maximum ou minimum de t, c est-à-dire si z est toujours inférieur ou toujours supérieur aux valeurs réelles que t peut acquérir pour des valeurs réelles de x voisines de ^, l'équation
résolue par rapport à x, offrira des racines imaginaires pour certaines valeurs réelles de t voisines de la valeur t.
Théorème III. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème II,
si Véquation
après avoir acquis m racines réelles égales entre elles, pour une certaine valeur réelle 1 de la variable t, vient tout à coup à perdre ces racines réelles, pour une racine réelle de t, très voisine de t, celles-ci se trouveront remplacées par m racines imaginaires .
Théorème IV. — Si l'équation
résolue par rapport à x, a toutes ses racines réelles pour une valeur réelle quelconque de la variable t, cette dernière variable, considérée comme fonction de X, ne pourra jamais acquérir un maximum ou un minimum t correspondant à une valeur \ de x tellement choisie que Y[x,t) reste fonction continue dans le voisinage des valeurs ^ et r: des imriables x et t.
Théorème V. — F(.r, t) désignant une fonction réelle des variables x, t, nommons
deux valeurs réelles de x et de /, propres à vérifier F équation
et dans le voisinage desquelles la fonction Y[x, t) reste continue, avec sa dérivée W[x, t) relative à la variable t. Soit m le nombre de racines éfcales
à ^ dans l'équation
en sorte que le rapport
acquière, pour x — ^, une valeur finie différente de zéro; et supposons que l'on puisse en dire autant de la fonction Y(.r, t). Enfin, nommons 0 une racine primitive de l'équation
et posons
i désignant une quantité réelle. L'équation
(3) ¥{a:,T-+- i)=zo
offrira, pour de très petites valeurs numériques de i, m racines très peu
différentes de l, dont chacune vérifiera l'une des m équations de lajorme
SI le signe de i est celui de la quantité
et l'une des m équations de la forme
(5) x-iz=^(j\—iW{x,i)Y, x — l=^^\—iJi{x,i)Y,
si le signe de i est contraire à celui deI[(i,o).
Comme, parmi les équations (4), (5), on trouvera seulement deux équations réelles qui seront, ou deux des équations (4), si le nombre m est pair, ou l'une des équations (4) et l'une des équations (5) si m est impair, on conclura du théorème V que, dans l'hypothèse admise et pour m > I, quelques-unes des valeurs de x, propres à vérifier les formules (4) et (5), deviennent imaginaires. Ajoutons que chacune de ces valeurs de x pourra être immédiatement développée en série par la formule de Lagrange.
TifÉORÈME VI. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème II, SI la valeur \ de x représente, non une racine simple, mais une racine multiple de l'équation
en sorte que, m racines étant égales à^, le rapport
acquière, pour x — l, une valeur finie différente de zéro, V équation
résolue par rapport à x, offrira des racines imaginaires pour certaines valeurs de t voisines de t.
§ II. — Sur les racines de l'équation i-=zm{x).
Le § II de mon Mémoire se rapporte spécialement aux racines des équations de la forme
t=:-Ti5{x).
J'établis successivement, à l'égard de ces mêmes racines, les théorèmes suivants :
Théorème I. — xs[x) étant une fonction réelle et déterminée de x, si la variable t, liée à la variable x par l'équation
acquiert une valeur maximum ou minimum z pour une valeur réelle et finie de x, représentée par H, et dans le voisinage de laquelle la fonction xs{x) reste continue, l'équation (i), résolue par rapport à x, offrira des racines imaginaires, pour certaines valeurs de /, voisines de la valeur z.
Théorème II. — Si l'équation
résolue par rapport à x, a toutes ses racines réelles, pour une valeur réelle quelconque de la variable t, cette dernière variable ne pourra jamais acquérir un maximum ou un minimum z correspondant à une valeur réelle ^ de x, dans le voisinage de laquelle la fonction vn [x) resterait continue.
Théorème III. — trr(a7) étant une fonction réelle et déterminée de x, supposons la variable t liée à la variable x par la formule
t ■=. 7n(oc).
Si V équation
offre m racines égales « H, en sorte quon ait
ri[x) désignant une fonction nouvelle qui acquière, pour x = E, une valeur finie différente de zéro, l'équation
ou
offrira, pour de très petites valeurs numériques de i, m racines très peu différentes de ^. Soit d'ailleurs G une des racines primitives de l'équation
Chacune des m racines de l'équation (3), correspondantes à de très petites valeurs numériques de i, vérifiera l'une des m formules
si le signe de i est en même temps celui de la quantité ê [œ] , et l'une des m formules
si le signe de i est contraire à celui de ê{^).
Théorème IV. — xs[x) étant une fonction réelle et déterminée de la variable X, et cette variable étant liée à la variable t par l'équation
t=:uy{œ),
nommons c, une valeur réelle de x qui représente m racines réelles égales
de r équation
vs{x)-=r,
en sorte que le rapport
acquière, pour x = ^, une valeur finie différente de zéro. Si la fonction iji[x) reste continue dans le voisinage de la valeur x ^=^, l'équation (i),
ou
xn{a;) = t,
résolue par rapport à x, offrira des racines imaginaires pour certaines valeurs réelles de t voisines de r:.
Théorème V. -- xs{x) étant une fonction réelle et déterminée de x, qui ne cesse d'être continue qu'en devenant infinie, si l'équation
résolue par rapport à x, a toutes ses racines réelles pour une valeur réelle quelconque de t, non seulement chacune des deux équations
ct(x)
aura pareillement toutes ses racines réelles, mais, de plus, deux racines réelles distinctes de l'équation (6) comprendront toujours entre elles une seule racine réelle de T équation (']),et, réciproquement, deux racines réelles distinctes de l'équation (7) comprendront toujours entre elles une seule racine réelle de V équation [(j) .
Théorème VI. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème V, si les racines réunies des équations (6)^/(7) sont rangées par ordre de grandeur, de manière à former une suite croissante, les divers termes de cette suite appartiendront alternativement à Vune et à l'autre équation; si d'ailleurs on nomme
deux racines consécutives de V équation (7), la seconde de ces racines a' pouvant être remplacée par V infini positif ^, et la première a par l' infini négatif — co, la variable
sera toujours croissante ou toujours décroissante, tandis que la variable x passera de la limite a à la limite a'.
Pour montrer une application très simple des théorèmes qui précèdent, supposons
a désignant une constante réelle. Alors l'équation (i), réduite à
tr=i tanga.r,
ou, ce qui revient au même, à "
sina.r
cosa^
aura, comme on sait, toutes ses racines x réelles. Donc, en vertu des théorèmes V et VI, les racines des deux équations (6) et (7), ou
sinaj:^^t=:o et cosa^=:o,
étant réunies et rangées par ordre de grandeur, appartiendront alternativement à l'une et à l'autre équation, ce qui est exact. De plus, la
fonction
<=:tanga^
sera toujours croissante, tandis que la variable œ croîtra, en passant d'un terme quelconque de la série
Stt
Stt
qui offre les diverses racines de l'équation cosa^ = o, rangées par ordre de grandeur, au terme suivant.
Dans les théorèmes qui précèdent, la fonction ct(^) était supposée réelle. Dans ceux qui suivent, elle est de plus rationnelle, c'est-à-dire représentée par une fraction dont les deux termes se réduisent à des fonctions entières de la variable x.
Théorème YII. — ter (a?) étant une fonction réelle et rationnelle de x, si l'équation
résolue par rapport à x, a toutes ses racines réelles pour une valeur réelle quelconque de /, les degrés des deux termes delà fraction rationnelle xs{^x) seront égaux ou différeront entre eux d'une seule unité; de plus les racines de chacune des équations
XJ5{x)
seront réelles et inégales; enfin toutes ces racines réunies et rangées par ordre de grandeur, de manière à former une suite croissante, appartiendront alternativement à l'une et à l'autre équation .
Théorème VIII. — rs{x) étant une fonction réelle et rationnelle de x, si les degrés des deux termes de cette fonction ou fraction rationnelle sont égaux ou diffèrent entre eux d'une seule unité; si d'ailleurs les racines de chacune des équations
sont toutes réelles et inégales; si enfin ces racines, rangées par ordre de grandeur, appartiennent cdternativement à l'une et à l'autre équation; alors, résolue par rapport à x, l'équation
m{x)=it
aura toutes ses racines réelles pour une valeur réelle quelconque de la variable t.
Théorème IX. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème VIII,
si l'on représente par
ai, «2, Oi ...
les racines finies de l'équation
rangées dans leur ordre de grandeur, de manière à former une suite croissante, la valeur de
t ^=iXï5{x)
sera toujours croissante ou toujours décroissante, tandis que la variable x croîtra en passant d'un terme de la série
(^) — ^, ai, a.^, «3, ..., ce,
au terme suivant.
Posons, pour fixer les idées,
OEuores de C. — S. I, t. VI. 2^
it désignant une constante réelle, etç>(^), K^) désignant deux fonctions entières de œ, dans chacune desquelles la plus haute puissance de ^ ait pour coefficient l'unité. L'équation
pourra s'écrire comme il suit
et pour bien comprendre le théorème IX, il sera nécessaire de distinguer trois cas, suivant que la différence entre le degré de '\i[oc) et le
degré de '^[oc) sera
I ou G ou ^I.
Dans le premier cas, — ce, -+- oo seront racines de l'équation
et la valeur du rapport
le
croîtra sans cesse en passant de la limite — co à la limite ao, tandis que la variable x croîtra en passant d'un terme de la série (8) au terme suivant.
Dans le troisième cas, — ce, -+- co seront racines de l'équation
Xi5{x)r=i O ;
et, tandis que la variable x croîtra en passant d'un terme a de la série (8) au terme suivant a", la valeur du rapport
décroîtra sans cesse, en passant de la limite o à la limite — ce, si l'on a «' = — 00, de la limite oc à la limite zéro, si l'on a a" = ce, et de la limite ce à la limite — ce, si a et a" conservent des valeurs finies. Enfin, dans le second cas, — ce, -h ce seront racines de l'équation
CJ ( j? ) t=: A- ;
et, tandis que la variable x croîtra en passant d'un terme quelconque a' de la série (8) au terme suivant a", la valeur du rapport
croîtra ou décroîtra sans cesse, en passant généralement de la limite —ce à la limite ce, ou réciproquement, suivant que la plus petite racine h^ de l'équation
sera inférieure ou supérieure à la plus petite racine a, de l'équation
GT(.a?)
Ajoutons que la première des valeurs extrêmes du rapport -^> si l'on a
«'=r — oc,
et la seconde, si l'on a
devront cesser d'être infinies, et se réduiront simplement à l'unité.
Analyse MATHÉMATIQUE. — Sur la détermination et, la transformation d'un grand nombre d'intégrales définies nouvelles.
