C. 11., t. XII, p. 1145 (-21 juin i84i
Des formules générales que j'ai données dans les Exercices de Mathématiques, et qui s'y trouvent déduites du calcul des résidus, fournissent immédiatement les valeurs d'une multitude d'intégrales définies, dont les unes étaient connues, les autres inconnues. Parmi ces formules, l'une des plus remarquables est celle qui détermine les valeurs des intégrales prises entre les limites — ce, 4- oc, et qui comprend comme
cas particuliers quelques résultats obtenus par Euler et par 31. Laplace. Or mes dernières recherches sur le calcul des résidus permettent d'étendre considérablement cette même formule, ou plutôt de la remplacer par d'autres qui peuvent être appliquées à la détermination ou à la transformation d'un grand nombre d'intégrales définies nouvelles. Je vais expliquer en peu de mots la marche que j'ai suivie pour arriver aux nouvelles formules dont il est ici question.
Les théorèmes généraux de Calcul intégral que j'ai présentés à l'Académie dans les précédentes séances servent à déterminer ou à transformer une intégrale définie, relative à x, ou plutôt la somme s des valeurs de cette intégrale qui correspondent aux diverses valeurs de se. considérée comme une fonction implicite d'une autre variable t. Supposons maintenant ces diverses valeurs représentées par autant d'intégrales dont chacune offre pour seconde limite l'origine de l'intégrale suivante. Il est clair que, dans ce cas particulier, la somme ^pourra être réduite à une intégrale unique que les théorèmes dont il s'agit serviront à déterminer ou à transformer. Tel est le principe très simple à l'aide duquel je déduis des formules générales précédemment établies celles qui forment l'objet spécial de ce nouveau Mémoire.
Analyse.
§ L — Formules générales.
La variable x étant liée à la variable / par l'équation
nommons ^(x, t), ^Y[x, t) les dérivées partielles de la fonction F(.r, t), relatives à a; et à t. Soient de plus
{{x) ou f(.r, 0 une autre fonction de la variable x ou des deux variables x, /, et
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deux valeurs correspondantes de ces mêmes variables. On aura
ou , plus généralement, *
(3) fjH.,od. = -f\(.;n'^^>n,
pourvu que chacune des variables œ, t reste fonction continue de l'autre, entre les limites de l'intégration. Pour que cette condition soit remplie, lorsque les deux variables restent réelles, il est nécessaire et il suffît qu'elles varient simultanément par degrés insensibles et que, pour des valeurs croissantes de l'une, l'autre soit toujours croissante, ou toujours décroissante, du moins entre les limites que l'on considère.
Lorsque, dans une intégrale définie relative à x, on remplacera, comme on vient de le dire, la variable x par une nouvelle variable /, l'équation (i), qui caractérisera la relation établie entre les deux variables X et t, sera ce que nous appellerons l'équation caractéristique.
On ne devra pas oublier que la variable t est regardée comme fonction de X, dans le premier membre de la formule (3), et la variable x comme fonction de t dans le second membre. D'ailleurs l'équation (i), résolue, soit par rapport à t, soit par rapport à x, peut, dans une hypothèse comme dans l'autre, fournir ou une seule racine ou plusieurs racines diverses. Concevons, pour fixer les idées, que l'équation (i), résolue par rapport à x, fournisse diverses racines
représentées par des fonctions de / qui se réduisent aux quantités
dans le cas particulier où l'on suppose t = -. Puisque les deux variables X, t doivent, entre les limites de l'intégration, rester fonctions continues l'une de l'autre, il est clair qu'à chaque valeur de x, considérée
comme fonction de /, répondra, dans la formule (3), une seule valeur de t considérée comme fonction de x. Mais aux diverses valeurs de x, considérée comme fonction de /, correspondront généralement diverses
valeurs de l'intégrale
t ) dx ;
et, en nommant s la somme de ces valeurs, c'est-à-dire en posant, pour abréger,
(4) s=^ I i{.r, t)dœ H- / {{x, t)dx ^ . . . ,
on tirera de la formule (3)
^'^ '=X ^ H^,n ''"i l[[—Fî^t^ ))''''
le siffne / étant relatif à la variable auxiliaire z.
Avant d'aller plus loin, nous avons une remarque importante à faire. Dans chacune des intégrales que renferme la formule (4), i est considéré comme fonction de x. Mais la valeur de t en x pourra varier dans le passage d'une intégrale à une autre, si l'équation (i), résolue par rapport à t, offre plusieurs racines. En effet, la condition à laquelle cette valeur de t est assujettie, c'est que, dans chaque intégrale de la forme
{{x, t) dx ,
elle se réduise à t pour ^p = ;. Or la valeur de t qui remplit cette condition peut changer de forme avec la valeur de E. Si, par exemple, on a
Y{x,t)=X^-Jr tX-ht^— l et T=:0,
on trouvera pour valeurs de c,
I et — I .
Or l'équation
œ^ -\- t ûd -{- t' — I = O ,
résolue par rapport à t, donnera
^ = — |j? + V^i — f>^'^ ou tz= —
et, de ces deux dernières valeurs de /, la première s'évanouira pour ir= I, la seconde pour ^ = — i. Remarquons toutefois que, si, dans cet exemple, les deux valeurs de t étaient présentées sous la forme
la première seule aurait la double propriété de s'évanouir à la fois pour ^ = 1 et pour -rrrr — I .
Revenons à la formule (5). Si le rapport
ne devient infini que pour des valeurs nulles de F(::, t), si d'ailleurs le résidu de la fraction
relatif à une valeur nulle de z, offre une valeur déterminée, cette formule donnera
dt.
Si l'on remplace f{x, t) par un produit de la forme
l'équation (G) deviendra
f{l)dL
Enfin, si l'on remplace {[x, t) par une fonction f(^) de la seule variable œ, ou par une fonction f(t) de la seule variable t, on trouvera dans le premier cas
et dans le second cas
Parmi les formes diverses que peut acquérir la fonction F(.x-, /), on doit remarquer celles dans lesquelles les variables or, t sont séparées. Cette séparation aura lieu, par exemple, si l'on pose
n étant un nombre entier quelconque, et cî(^) une fonction déterminée de X, c'est-à-dire, en d'autres termes, si l'équation (i) se réduit à
(lo) t"~rs{x).
Dans ce cas, la formule (7) donnera
Si l'on suppose en particulier /? = i, l'équation (10) sera réduite à (12) t--=-w{x),
et les formules (7), (9) donneront
§ 11. — Formates relatives au cas où les racines de l'équation caractéristique
sont toutes réelles.
Parmi les résultats que l'on peut déduire des principes établis dans le premier paragraphe, on doit surtout remarquer ceux que l'on obtient quand on suppose que l'équation caractéristique, résolue par rapport à la variable £c, a toutes ses racines réelles pour une valeur réelle quelconque de la variable t.
Admettons cette hypothèse; supposons encore, pour plus de simplicité, que l'équation caractéristique se présente sous la forme
cî(x) désignant une fonction réelle et déterminée de x-, et concevons d'abord que cette fonction ct(^) se réduise à une fraction rationnelle. On pourra prendre
k désignant une constante réelle et 9(^), ^{x) deux fonctions entières de X dans chacune desquelles le coefficient de la plus haute puissance de X se réduise à l'unité. Cela posé, chacune des deux équations
(2) GT(.r) = o,
et par suite aussi chacune des deux équations
OEuvres de C. — S. I, t. VI. 25
aura toutes ses racines réelles et inégales. Supposons que ces racines, rangées d'après leur ordre de grandeur, de manière à former une suite croissante, soient respectivement
pour l'équation (5), et
pour l'équation (4). Suivant ce qui a été dit dans le précédent Mémoire, deux termes consécutifs de chacune des suites (6), (7) comprendront entre eux un seul terme de l'autre suite, et les degrés des fonctions entières
seront égaux ou différeront entre eux d'une seule unité. On aura donc trois cas à considérer suivant que la différence entre le degré de '|(-f ) et le degré de 9(^) sera
I ou o ou — I.
Si l'on nomme n le nombre qui représente les degrés lorsqu'ils sont égaux, et le plus grand des deux, quand ils sont inégaux, ces mêmes degrés seront respectivement, dans le premier cas,
n et « — I ;
dans le second cas
n et n;
dans le troisième cas
n — I et n.
On aura par suite, dans le premier cas,
dans le second cas
, ^ f. (^— ^i)(^— ^2) ••• i^ — bn) .
{x — ai) {jc — «2) • • • {^ — ^/i) '
et dans le troisième cas
Voyons maintenant quelles seront, pour ces trois valeurs de ty les valeurs de la somme désignée dans le premier paragraphe par la lettre s. Dans le premier cas, tandis que la variable x passera d'un terme de la série
au terme suivant, le rapport
croîtra sans cesse, en passant de la limite — 00 à la limite oc. Donc
alors, dans les diverses formules du premier paragraphe, on pourra
prendre pour
t et 7
deux quantités finies quelconques. L'équation (8), résolue par rapport à œ, fournira d'ailleurs, pour une valeur quelconque de t ou de t, les valeurs correspondantes des quantités
ou
qui se trouveront comprises, la première entre les limites — oc, <z,, la seconde entre les limites «,, a., ..., la dernière entre les limites
Si, pour fixer les idées, on prend la formule (4) du § I donnera
Si l'on prend, au contraire,
-=— ÛO, ^ — o,
la même formule donnera
[{œ,t)dx+l {{x,t)dx-\-...-\- l {{x,t)dj Enfin, si l'on prend
