CC

on trouvera

s= î{a^,t)dx'+ {i^x,t)dx+...+ l {{œ,t)dx

(i3) " s= f f{x,t)dx.

D'ailleurs, la valeur de s que détermine la formule (11) ou (12) s'exprimera, en vertu de l'équation (6) du § F', à l'aide d'intégrales définies relatives à t, et prises entre deux limites dont l'une sera zéro, l'autre étant ±00. La même équation, appliquée à la valeur de 5 que détermine la formule (i3), donnera

^-» J oe^ ^ f)'t-J^^z) J^^{{Z')) ^^flV

le double signe di devant être réduit au signe H- ou au signe —, suivant que la constante k sera positive ou négative.

Considérons maintenant le second cas où la valeur de i en ^ est fournie par l'équation (9). Dans ce cas, tandis que la variable x passera d'un terme de la série

— 30, a,, «2, •••, ««-1, an, ce

au terme suivant, le rapport

Te

croîtra ou décroîtra sans cesse, suivant que Ton aura a, </>, ou bt<Cat> De plus les deux limites entre lesquelles croîtra ou décroîtra le rapport

y seront généralement — ce et -+- so ou + =c et — =c. Seulement l'une

de ces limites se trouvera remplacée par l'unité quand l'une des limites

de la variable a^ sera — ce ou co. Par conséquent on pourra prendre,

pour

t et z,

dans les diverses formules du § P% non plus deux quantités finies quelconques, mais deux quantités finies simultanément comprises, soit

entre les limites

/: et 00,

00 et k.

soit entre les limites Si d'ailleurs on nomme

(l5) • —ce, Cl, Co, ..., C„,, cô

les n racines de l'équation

t:j{.x)=ik ou i|/(j?) = cp(a:),

l'équation (9), résolue par rapporta x, fournira, pour une valeur quelconque de t ou de t, les valeurs correspondantes des quantités

ou