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qui se trouveront comprises, ou, la première entre les limites — x, «,, la seconde entre les limites c^, a^, ..., la dernière entre les limites c„,, a„; ou bien, la première entre les limites «,, c,, la seconde entre les limites «o» ^2» .... la dernière entre les limites «„, x.
Si, i>our fixer les idées, on prend
la formule (4) du § l^" donnera Si l'on prend au contraire
la même formule donnera
(17) s— f {{x,t)dx+i {{x,t)dx-h...-h f{x,l)dx;
et il suffira d'ajouter la somme (16) à la somme (17), pour obtenir une nouvelle somme équivalente à l'intégrale
/ {{x, t)dx.
D'ailleurs la valeur de s, que détermine la formule (ii) ou (12), s'exprimera, en vertu de la formule (6) du § I", à l'aide d'intégrales définies relatives à t, prises entre les limites
bi—tti
ou entre les limites
A et A.
Donc, à l'aide d'intégrales de la même forme, mais prises entre les
limites
A- et 7 A,
bi — «1 Oi — rt,
on pourra exprimer la valeur de l'intégrale
f(^, t)dx.
On se trouvera ainsi ramené de nouveau à la formule (i4)- Seulement, dans cette formule, le double signe ± devra être réduit au signe -i- ou
au signe —, suivant que la constante %-— — sera positive ou négative. Si à la limite k de la variable t on substituait la limite zéro, il faudrait, à 71 termes consécutifs de la suite
— 00, Cl, C2, •••, c«, 00,
substituer les quantités
D'ailleurs zéro sera renfermé entre les deux limites
et
ou entre les limites
suivant que les deux quantités yî: et 6, — a^ seront affectées de signes contraires ou du même signe. On pourra donc, suivant que l'une ou l'autre condition sera remplie, déterminer encore, après la substitution dont il s'agit et à l'aide des principes établis dans le § P% la valeur de la somme (16) ou (17), réduite, au signe près, à la suivante :
' f{x,t)dx-h i{x, t)dx-\-...-^ i f{x-,l)d.v.
Cette dernière somme comprend, comme cas particuliers, celles qui ont été déterminées par M. Richelot.
Considérons enfin le troisième cas où la valeur de / en x est fournie par l'équation (10). Dans ce cas, tandis que la variable x croitra en
passant d'un terme de la série
C3C, tti, Cli, ..., Ct/i-if (^nt ^
au terme suivant, le rapport
décroîtra sans cesse en passant généralement de la limite se à la limite — 00. Seulement l'une de ces deux limites se trouvera remplacée par zéro quand l'une des limites de la variable ^ sera —oc ou oc. Par conséquent, on pourra prendre pour
t el T,
dans les diverses formules du § PS non pas deux quantités finies quelconques, mais deux quantités finies simultanément comprises, soit
entre les limites
o et oc,
soit entre les limites
— 00 et o.
D'ailleurs, l'équation (lo), résolue par rapport à œ, fournira, pour une valeur quelconque de t ou de t, les valeurs correspondantes des quantités
OU
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qui se trouveront comprises, ou, la première entre les limites —ce, rt,, la seconde entre les limites h,,a.^, ..., la dernière entre les limites h,,^, a,,\ ou bien encore, la première entre les limites «,, />,, la seconde entre les limites a^, 6^, . . . , la dernière entre les limites a„, oo. Si, pour fixer les idées, on prend
la formule (4) du § P' donnera
(,9) 5=r/ {{x,t)dx^\ {{x, L)dx-^...^ \ f(.r, 0
dx.
Si l'on prend, au contraire,
Ala même formule donnera
(20) s= f {{x,l)cU--^( {{x,t)dx -^.. .+ l {{x,t)dx;
et il suffira d'ajouter la somme (19) à la somme (20) pour obtenir une nouvelle somme équivalente à l'intégrale
f(j7, t) dx.
D'ailleurs la valeur de s que détermine la formule (19) ou (20) s'exprimera, en vertu delà formule (6) du § I*", à l'aide d'intégrales définies relatives à t, et prises entre les limites
o et — oc. Â,
ou
