C. R., t. XII, p. 84 (11 janvier
Le calcul des perturbations des mouvements planétaires dépend, comme l'on sait, du développement d'une certaine fonction R, appelée la fonction perturbatrice. Déjà, dans les Mémoires publiés à Turin, en i83i et i832, ainsi que dans les Comptes rendus des séances de i Académie des Sciences {voir les n"* 11 et 12 du second semestre de 18/40) (' ), j'ai donné des formules qui permettent d'obtenir directement le coeffi-
(1) Œmrcs de Caiichy, S. I, t. V. — Extraits rf' 9o, 96, p. 288-3i i.
cient d'un terme quelconque correspondant à une inégalité donnée, dans le développement de la fonction R, en une série de sinus et de cosinus d'arcs qui varient proportionnellement au temps. Mais la convergence de cette série est assez lente; et comme, par suite, le nombre des termes que l'on devra conserver dans le développement de la fonction perturbatrice R est très considérable, il importait de réduire la détermination numérique des coefficients de ces mêmes termes à la recherche des développements de R ou d'autres fonctions en séries dont la convergence fût plus rapide. Or, pour atteindre ce but, il suffit de développer d'abord la partie de R qui correspond à deux planètes en une série simple, ordonnée suivant les puissances négatives de la distance qui séparerait ces deux planètes, si les plans de leurs orbites coïncidaient et si le mouvement elliptique de chacune d'elles se réduisait au mouvement circulaire; puis, de développer les coefficients des puissances négatives dont il s'agit en séries de sinus et de cosinus d'arcs proportionnels au temps. Après ces deux opérations, la fonction R se trouvera représentée par une série multiple dont les divers termes seront précisément de la forme qu'a indiquée M. Liouvilledans son beau Mémoire du rr juillet i83G, en sorte qu'on pourra immédiatement faire servir les fonctions elliptiques au calcul des perturbations planétaires. Ajoutons que de cette série multiple on passera facilement à celle qui représente le développement de R uniquement ordonné suivant des sinus et cosinus d'arcs proportionnels au temps, attendu que le coefficient do chaque terme dans la seconde série se trouvera exprimé par une fonction linéaire des coefficients de divers termes de la première. On voit donc combien il était à désirer que l'on pût disposer les calculs qui doivent conduire à la première série, de manière à les rendre facilement exécutables. Cette condition se trouvera effectivement remplie si l'on suit la marche que j'exposerai ciaprès.
OF.uvies de C. — S. I, t. VI.
Analysk.
§ 1. — Considérations générales.
Soient .
m, m' les masses des deux planètes;
/■, /•' leurs distances au centre du Soleil ;
V leur distance mutuelle;
^ l'angle sons lequel cette distance est vue du centre du Soleil.
Dans h fonction perturbatrice R, relative à la planète m, la partie cor responda,nte à la planète m' sera
m'r ^ ni'
— r- COSO )
en sorte que l'on aura
ni'r ^ m' (i) R 1= — -r COSO + . . . — •••,
la valeui'"de x étant
(■■>.) t = ( /•- — 9. rr' ces 8 + /•'- ) ■'' .
Soient d'ailleurs, dans les ellipses osculatrices des courbes décrites par les planètes m, m',
p, p les longitudes de ces planètes;
']/, iL' leurs anomalies excentriques ;
7', T leurs anomalies moyennes;
a, a les demi grands axes;
i, i les excentricités;
rr, ht' les longitudes des périhélies ;
-, t' les instants des passages des planètes m, m par ces périhélies.
Enfin, M étant la masse du Soleil, posons
EXTRAIT N" 113. i9
Les anomalies moyennes T, T seront liées au temps / par les équations linéaires
et, si l'on pose encore
les équations du mouvement elliptique de chaque planète seront de la forme
,,. , , cosd; — £ xsinJ;
(4) COS(/) — GT)= ^ -, Sin(/? — CT)r=— ^,
1 — £COS'| 1 — ecos'i;
1 étant une fonction implicite de F, déterminée par la formule
(5) 4;— £Sill'|=:r.
Ajoutons que, si, en nommant I l'inclinaison mutuelle des plans des deux orbites, on prend
U.:=:COS--j V = 8111^-5 '
on aura
(6) cosô=. [j. cos (/»'—/» + 11) + vcos(/>'+/> + (!>),
II, <ï> désignant deux constantes qui dépendent des positions de ces mêmes plans.
Cela posé, pour déterminer les diverses inégalités périodiques ou séculaires, produites dans le mouvement de la planète m par l'action de la planète m , on devra développer, suivant les puissances entières des exponentielles trigonométriques
les deux termes qui sont proportionnels à ni dans le second membre de la formule (i), c'est-à-dire les deux expressions
—jr coso, — — >
ou, ce qui revient au même, les deux fonctions
rcoso I
— ,— cl -
D'ailleurs on tirera des équations (3) et (/j )
- cos{p — C7) = cos'l — £, -sin(/> — gt) — xsin'|, et, par suite,
(o(/;-CT) v'-l ::::: COS 'i — £ + X sill •\l J— I ,
/ <>-(/'-cT)v' 1 — cos'ji — £ — zsin'lv^— i;
puis on conclura des formules (G) et (8j
— ; COSO ■== - a aa 2 '
g(ll-cT+CT')V-i (cos'y— e'+x' sin-yv^— i)(cos'| — £ — x.sin^| y/-
e(<I>+ci+îjV^ (cos-y — £'+ •/ sin'y\/^) (cos'l — t + -/sin-];/ L g-(<i.+cj+t^')v/^ (cosy — c'—y.' siivy v^^j (cos'l — £ — h sin^^v/
Enfin, si, en apportant une légère modification aux notations ci-dessus admises, afin de simplifier l'équation (9), on représente par
n + CT -- Gt', <I> — C7 — TTt'
les deux constantes jusqu'ici représentées par net (I>, les équations (6) et (9) deviendront
(10) COSO = ;i.cos(/j'— Gî' — /;> H-GT + H) H- V COS(/>'— cr' + yj — ro H- <1>)
et
îO
— , COSO ■=-- -',x aa 2 '
gllv'-i (cos-y •— £'+ x.' sin^li'v/^ 0 (cos'^ — £ — x sin^iv/— 0
+ e-^V-i( cos-y— £'— y/sin-yv^^^) (cos^]; — £ H- •/isliv|\/^)J
g<I>v/-i (cos-y— E'+'/sin-yy/— 1) (cos<|' — £ + /. sini];v/— i) j + e-'^V-i (cos-y — £'— /','sin4'V~ j)(cos'| — £ — xsin-lv/— ')J
Or, eu égard aux formules (2), (3) et (11), les quantités (7), dont la première est égale au rapport
/■/•'cos'5
pourront être immédiatement exprimées en fonction des anomalies excentriques
'i; et i|;'
et développées en séries qui soient ordonnées suivant les puissances entières, positives ou négatives, des exponentielles trigonométriques
ou bien encore en séries qui soient ordonnées suivant les puissances entières, positives ou négatives, des exponentielles trigonométriques
D'ailleurs, la recherche des développements de la seconde espèce pourra être réduite au calcul de termes contenus dans d'autres développements de la première espèce, en vertu des théorèmes que nous allons énoncer :
Théorème I. — Soit -d une fonction de la variable } liée à la variable T par V équation (5) et n une quantité entière positive ou négative; le coefficient ii,i de
dans le développement de a en série ordonnée suivant les puissances entières de e^^~', sera en même temps le coefficient de
dans le développement de l'un quelconque des deux produits en série 'ordonnée suivant les puissances entières de e^"^'^ .
Démonstration. — En effet, si l'on pose
le signe 1 s'étendant à toutes les valeurs entières positives, nulles ou négatives de n, on en conclura
puis, en intégrant par parties,
/.STÏ
Si maintenant on a égard à la formule (5), les équations (12), (i3) deviendront
et de ces dernières, comparées à la formule (12), on déduira immédiatement le théorème I.
Au reste, le théorème I qui se déduit aisément, comme on vient de le voir, des propriétés d'intégrales définies déjà employées par les géomètres dans les problèmes d'Astronomie, pourrait se déduire encore du théorème de Lagrange sur le développement en série des fonctions implicites.
Corollaire J. — Si l'on pose en particulier n = o, les équations (12) et (i4) donneront
adl'z^—- / (l — £ COS'|)»<id^.
C.ette dernière formule entraîne évidemment la proposition suivante :
ThéorÈiME II. ^ Le terme constant, c'est-à-dire indépendant de l'exponenlielle e^'^^^, dans le développement de la fonction m en série ordonnée
suivant les puissances entières de cette exponentielle, sera aussi le ternv constant du développement de la fonction /r^^
ÏÎIVERSITY
en série ordonnée suivant les puissances entières de e'^v^ ' .
Des théorèmes I et II on déduit encore immédiatement ceux que nous allons énoncer :
Théorème III. — Soient ?, une fonction des vaiiables y, 6' liées cuir variables T, T par les deux équations
'h — c sin •!/ = r, 'Y - i sin 'Y = T',
et n, n' deux quantités entières positives ou négatives. Le coefficient ^„ ,/ de l 'exponen tielle trigonométrique
dans le développement de la fonction y en série ordonnée suivant les puissances entières de
sera en même temps le coefficient de
dans le développement de l'une quelconque des quatre fonctions
(i — ECOS'I) ([ — £'cos4'')«e"-s'"'î'v'-'e'''-'^'"'yv-ï,
' =z(i — £'cos'y)e"^^'"'W-ie"'^'*'»'^'v' ' J),:,»-,,
Le/^esin->V-le"'B'»i"'l''v'-lD4,Dj;>5
en série ordonnée suivant les puissances entières de e'^v'-' ^ e'^'v'-' .
Théorème IV. — Les mêmes choses étant posées que dans le t/iéorèmr
précédent, le terme constant y„,o ^^ développement de la fonction 'd, en série ordonnée suivant les puissances entières des exponentielles
sera aussi le terme constant du développement de la fonction
a ( I — £ COS '\)){\ — z' COS 'Y )
en série ordonnée suivant les puissances entières des exponentielles
§ II. — Développement de la fonclloii - — j^—
La fonction
/•coso
pouvant être présentée sous la forme
rr coso
il résulte des formules (3) et (9) du § I, que l'on pourra immédiatement développer cette fonction suivant les puissances entières de ^r/i^ e^*^, si l'on sait développer de la même manière un quelconque des quatre produits compris dans la formule
,1/— p'-l- vsiiuL
/ , , ■ ■ / \ COSO/ — £'d= zsmO;
ou, ce qui revient au même, si l'on- sait développer, suivant les puissances entières de eJ'^'\ chacune des deux expressions
. , / — - cos-Jj — £-!-■/ sin'ii sJ— \ cos'i; — £ + zsui''>v '> '—, m '
desquelles on déduit immédiatement les deux suivantes
; , /• — cosJ; — £ — ■/ sind/v/— 1 cosJ^ — £ — xsmu^v/— I, ^—r ^^^ , V3 '
en chaiii-caiit seulenicMit le signe de \ — i. Or, si l'on pose d'abord
(') » — cos'l — s -f- X sin'^\'— I,
on (ronvera
^ 1)^8 trrx COS'J> 4- sifl']/ \/ — i;
et, en vertu du théorème I du § I, le coefficient «,, de e'"'''~\ dans le développement de la fonction «, se réduira au coefficient de e'"^^ dans le développement du produit
(x cos'-L 4- sin'l \/~ I ) e''-'*'"'T'v'-i,
ou, ce qui revient au même, au terme indépendant de à^'' dans le dévcdoppement de la fonction
- (x cos'l 4- sin-i; V— 1 ) e-'''>v'~e''-*"''K~ Il ^ . \ /
Or, comme on a généralement
le signei s'étendant à toutes les valeurs entières nulles ou positives de X-, si l'on désigne par
le terme indépendant de é^^~' dans le développement du produit
ou, ce ([ui revient au même, le terme indépendant de ^- dans le développement du produit
(Ml aura
Il y a plus : les quantités entières de la forme N,,,,^ sont évidemment
OEinrcs de C.^ S.\, l.\l. A
liées les unes aux autres par les équations
et, si l'on désigne à l'aide de la notation
le coetïieient de x dans le développement du binôme c'est-à-dire, si l'on pose
on aura
Ajoutons que, si l'on prend n ■= o, la valeur de '<i„ réduite à ^^ sera, en vertu du théorème 11 du § l, égale au terme qui reste indépendant de «"'^v'-' dans le développement du produit
(l — £ COS'J;)<! :-- (I — £ COS'l) (COS'I — S + Y, sIll'L ^' — I ;
de sorte qu'on aura
Posons maintenant
cos'j/ — £ 4-xsin4'V — '
^~' '^ ~ (I — £Cos'];)^
Alors, en vertu du théorème 1 du paragraphe précédent, le coefficient ^„ de e"^^~', dans le développement de la fonction ^, se réduira au coef-
ficient de e"^^~^ dans le développement du rapport
/QN cos^ s + X sin^ y/- ■ .^^jsj
^^' (I — eCOS'^)^
D'ailleurs, si l'on pose, pour abréger,
c'est-à-dire, en d'autres termes, si l'on désigne par r, la langente de la moitié de l'angle qui a pour sinus s, on trouvera
1 — z cos'l = -^ (i — r,e-'>v/~) (i — T.e'W^), et, par suite,
(i — cosd>)- £
Donc l'expression (8) deviendra
et le coefficient ««de e"^*~', dans la fonction «, se réduira au terme qui restera indépendant de c^^'"^ dans le développement du produit
de sorte que, en ayant égard à la formule
( I — r, e'-^ f~' Y^ = 2 (A + I ) -r/' e'"^ 'J~ , on trouvera
le signe 1 s'étendant à toutes les valeurs entières nulles ou positives de /i et de k.
Si, diins la formule (lo), on réduit le nombre n à zéro, elle donnera simplement
(il) «o=o>
attendu que, pour n = o, le produit (9), réduit à la forme
ne renferme pas de terme indépendant de l'exponentielle r^'^v-'.
§ III. — S(ir le développement de la fonciion -• En vertu de l'équation (2) du § I, on a
(1) v--=: /•'— 2/7'' COSO H- /•'-.
D'autre part, si l'on réduit à zéro les excentricités a, s', ainsi que l'inclinaison mutuelle I des orbites décrites par les planètes ni, ni, on tirera des formules (3), (4), (5) du § I,
et
et, comme on aura
la formule (10) du même paragraphe donnera
cosô = cos(7''- r+II),
en sorte que l'équalion (1) se trouvera réduite à
(2) t-=a-— 2a«'cos(7''— r+II) + rt'-.
Posons maintenant, pour abréger,
la formule (2) deviendra
v-^=2aa'[X-cos(r- jT+n)];
cl si, (huis le cas où chacune des quantités
diffère de zéro, on pose
(4) ^^=2aa'[}.-cos{T'— T+ II) + ,J,
la quantité a restera généralement très petite en même temps que 3, s', I. Alors aussi -laa'd représentera la différence entre les deux valeurs de ï'^ que fournissent les équations (i) et (2), en soi'te que l'on aura
7.aa'y,--r-—a--h r-—a'-^— 2/7-'coso + '^.aa' co^{T' — 7'-f-II),
et, par suite,
D'autre part, en posant, pour abréger,
(<') A = |/. — cos(r' - T r-ll)] ''.
on tirera de Ja formule (4)
le signe 2 s'étendant à toutes les valeurs entières nulles ou positives de 1. Or il suit de l'équation (7) qu'il deviendra facile de développer en série ordonnée suivant les puissances entières des exponentielles
dès que l'on aura développé séparément en séries de cette espèce les deux fonctions
b' el A.
En effet, supposons d'un côté
(8) A = 2A„e"i^-ï + Ilu=^,
30 COxMI»rES RENDUS DE L'ACADÉMIE.
ot d'un autre côté
Je signe 1 s'étendant à toutes les valeurs entières de /^ ou de // et n'; on aura généralement
et il est clair que, dans le développement du produit
le coefficient de sera
Donc ce coefticient pourra être considéré comme une fonction linéaire des quantités de la forme
multipliées chacune par un facteur de la forme
Il est même important d'observer que les diverses valeurs de
représenteront les coefficients des diverses puissances de e'^^^'*^~' dans une seule partie du développement de »' en série ordonnée suivant les puissances entières des deux exponentielles
savoir, dans la partie de ce développement qui sera proportionnelle à l'exponentielle
Cette remarque très simple permet d'obtenir la somme (i i) à l'aide du théorème que nous allons énoncer.
Théorème. - Posons
et plus généralement
v,(%„rv--)
