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UNIVERSITY 1 IFOR^

y,^ e/ -dl désignant des fonctions de la seule exponentielle

Quand on voudra obtenir le coefficient de

dafis le développement du produit »'DxA, U suffira de chercher le coefficient de l'exponentielle

dans le développement du produit

«„ + „■ ih^'

Observons encore que du développement de la fonction ^ on déduira aisément, par des multiplications successives, les développements de ■/-, ■<i\ ..., y'. Donc, des diverses valeurs de «,,, supposées connues, on pourra aisément déduire les diverses valeurs de rf,,".

En vertu de ce qu'on vient de dire, pour réduire la recherche du

développement de ^ à celle du développement de rf, il suffit de connaître les valeurs numériques des facteurs de la forme

M. Le Verrier a donc exécuté un travail fort utile pour l'Astronomie en construisant des Tables qui fournissent avec exactitude ces valeurs numériques. Il est d'ailleurs généralement très avantageux de substi-

32 COxMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

tuer au développement de la fonction - celui de la fonction y, attendu

que des deux séries multiples, produites par ces développements, la première converge très lentement, tandis que la convergence de la seconde est pour l'ordinaire très rapide. En raison de cette dernière circonstance, on pourrait employer avec succès, pour développer «? et ■<i^ en séries, ou les formules d'interpolation connues, qui reposent sur les propriétés des racines de l'unité, et que j'ai précédemment appliquées à des problèmes de Mécanique céleste dans mon Mémoire de 1832, ou la nouvelle formule d'interpolation que j'ai donnée en i835, ou bien encore celle que M. Le Verrier a présentée récemment à l'Académie. Au reste, on pourra aussi développer facilement en série la fonction -d, en partant de la formule (5), et ayant recours aux tliéorèmes établis dans le premier paragraphe. Déjà nous avons ainsi obtenu le développement de la fonction

cos'j^ — ■ t -\-y. sin-J; \— i, duquel on déduira immédiatement ceux des fonctions

cos'i — î±-/. sin'l v'— I5 cos-y— s'zbx' sin^Vy/— i, par conséquent celui de la fonction

7 coso,

déterminée par la formule (i i) du § II. Or, en effaçant dans le dernier développement la portion équivalente à cos(r' — 7 + 11), et changeant le signe du reste, on obtiendra la partie du développement de « qui représente le binôme

— ^cosô + cos(r'— r+Il).

Pour être en état de calculer l'autre partie, ou le développement de la somme

il suffira de savoir développer l'expression

en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de e'^ \ Or il résulte immédiatement du tliéorème I du § I que le coefficient de

otT^ l

dans cette série, sera le terme indépendant de e'^'^-\ dans le développement du produit

Donc, puisque l'on a

D,J — ; j — l),i,(i — £cos'|)^r= 2£(i — £ cos4^)sin'j>, le coefficient dont il s'agit sera, pour /^ > o,

('4) -2i(Db„,,,;l.+l£ — 2DL„,o,A+l) j-;^^^ TA2)

Ajoutons que le terme correspondant k n = o, c'est-à-dire le terme indépendant de e'^' \ dans le développement de la différence

sera, en vertH du théorème II (§ I), équivalent au terme indépendant de e'^vZ-i tlans le développement du produit

(l — £ COS'i;)'' — (i — £ COS'-p)

par conséquent à la quantité

Lorsqu'on se propose en particulier de trouver le teime indépendant de e''^'^ dans le développement de la fonction -, ou, ce qui revient au

OFMcres (le C. — S.\,\.\l. 5

même, le terme indépendant de e^v/^' dans le développement du rapport