C. R., l. XIIJ, p. I (5 juillet
J'ai donné, pour l'intégration d'un système quelconque d'équations linéaires aux différences partielles, une méthode générale qui réduit le problème à la formation de l'équation caractéristique et à la détermination de la fonction que j'ai nommée fonction principale. La formation de l'équation caractéristique ne présente aucune difficulté. Supposons d'ailleurs, pour fixer les idées, que les variables indépendantes, comme il arrive dans les problèmes de Mécanique, se réduisent à quatre variables qui représentent trois coordonnées x, y, z, et le temps t. La fonction principale devra être déterminée par la double condition de vérifier l'équation caractéristique et de s'évanouir pour une valeur donnée, par exemple, pour une valeur nulle de t, avec toutes ses dérivées relatives à t, jusqu'à celle dont l'ordre est inférieur d'une seule unité à l'exposant de la plus haute puissance de D, que renferme cette équation. Si, d'autre part, cette plus haute puissance de D, se trouve, comme il arrive d'ordinaire, multipliée par un coefficient constant, la fonction principale sera complètement déterminée par les conditions que nous venons d'énoncer, et elle pourra être représentée par une intégrale définie sextuple. Enfin, si le premier membre de l'équation caractéristique est une fonction homogène de ^
D^, Dy, D„ 1)„
l'intégrale sextuple pourra être, comme je l'ai prouvé en i83o, réduite à une intégrale définie quadruple, ou même à une intégrale définie double, si la fonction homogène est du second degré.
Lorsque le système des équations proposées se rapporte à une ques-
tion (le Physique mathématique, alors il suit de la réduction ci-dessus mentionnée que si, à l'origine du mouvement, certaines fonctions des variables indépendantes ou de leurs dérivées n'ont de valeurs sensibles que dans un très petit espace, elles n'auront de valeurs sensibles, au bout du temps t, que dans l'intérieur de certaines surfaces courbes. Donc alors, la propagation du mouvement donnera naissance à certaines o/zr/e.ç sonores, lumineuses, etc., terminées intérieurement par les surfaces dont il s'agit. A de grandes distances des centres de mouvement, ces surfiices courbes deviendront sensiblement planes, et les mouvements propagés deviendront ce que j'ai nommé des mouvements simples. La considération directe de ces mouvements simples permet d'abréger considérablement les calculs, et d'obtenir avec une grande facilité les lois de la propagation à de grandes distances des centres d'ébranlement.
Dans mes Mémoires de 1829 et de i83o, les deux méthodes que je viens d'indiquer se trouvent appliquées l'une et l'autre à la détermination de la surface des ondes que produit un ébranlement primitif dans un système de molécules sollicitées par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle. La première méthode est celle dont j'ai fait usage dans le Mémoire du 12 janvier 1829, dans une Note que renferme le Ihdletin de M. de Férussac d'avril i83o, enfin dans le Mémoire qui a pour objet l'intégration d'une certaine classe d'équations aux différences partielles, et le phénomène dont cette intégration fait connaître les lois dans les questions de Physique mathématique. La seconde méthode est celle que j'ai développée dans les Exercices de Mathématiques. Elle m'a conduit très facilement aux lois de la polarisation, et, en la suivant, dans les Mémoires des 3i mai et 7 juin i83o, je suis arrivé à conclure que Fresnel avait raison contre un illustre géomètre, en affirmant l'existence de vibrations transversales perpendiculaires aux directions des rayons lumineux. Il est juste d'observer que le même géomètre a reconnu depuis l'existence de ces vibrations et prouvé que leur propagation, avec la vitesse que j'avais calculée, était une conséquence nécessaire des intégrales générales. Ajoutons que les lois de la
20i COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.
polarisation, comme on devait s'y attendre, peuvent se déduire des intégrales générales aussi bien que de la considération des ondes planes. C'est ce que M. Blanchet avait très bien vu dès l'année i83o, et ce que nous aurons bientôt l'occasion de rappeler en rendant compte de l'important Mémoire qu'il a présenté dernièrement à l'Académie. Observons cnlin que les intégrales sextuples, qui représentent les valeurs générales des inconnues propres à vérifier un système d'équations linéaires aux différences partielles, et qui, après leur réduction, fournissent les lois des phénomènes, peuvent elles-mêmes être considérées comme déduites de la considération des ondes planes. En effet, pour obtenir ces intégrales, il suffit de décomposer les fonctions de x, y, z-, qui représentent les valeurs initiales des inconnues ou de leurs dérivées, en une infinité de parties respectivement proportionnelles à des exponentielles dont chacune a pour exposant une fonction linéaire; et il est clair que, si l'on représente par x,y, z- des coordonnées rectilignes, les diverses valeurs d'une fonction linéaire de ces coordonnées correspondront à divers plans parallèles les uns aux autres. Par conséquent, la décomposition dont je parle, et qui s'effectue à l'aide de la formule de Fourier, ou plutôt à l'aide d'une formule du même genre que j'ai substituée à la première {voir le XIX*' Cahier du Journal de C École Polytechnique), revient à considérer l'état initial comme formé par la superposition d'une infinité d'ondes planes.
Nous avons maintenant une remarque importante à faire. Les phénomènes dont on se propose de trouver les lois, à l'aide des intégrales générales, sont ordinairement ceux qui se produisent lorsque les déplacements des molécules et leurs vitesses ne sont sensibles à l'origine du mouvement que dans un espace très resserré, par exemple dans le voisinage de l'origine des coordonnées. Mais alors l'emploi des formules, dont je parlais tout à l'heure, a le grand inconvénient de représenter un ébranlement initial circonscrit dans un très petit espace par la superposition d'une infinité d'ondes planes dont chacune s'étend à l'infini. Ayant recherché s'il ne serait pas possible de faire disparaître cet inconvénient, j'ai eu le bonheur de réussir. Le moyen par lequel
EXTRAIT N" 129. 20o
j'y suis parvenu m'a été suggéré par un fait cligne, ce me semble, de l'attention des physiciens, et que j'ai déjà cité dans les 7^ et 8^ livraisons de mes Exercices cV Analyse, Je vais d'abord le rappeler en peu de mots.
Les mouvements simples et par ondes planes ne sont pas les seuls dans lesquels les inconnues puissent être exprimées par des fonctions finies des variables indépendantes : il existe d'autres mouvements où cette condition se trouve pareillement remplie. Ainsi, en particulier, lorsque, dans un système isotrope, les équations des mouvements infiniment petits deviennent homogènes, des intégrales en termes finis peuvent représenter des ondes sphériques du genre de celles que j'ai iiientionnées dans les Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences, t. II, p. 4^5 ('), savoir, des ondes dans lesquelles les vibrations moléculaires soient dirigées suivant les éléments de circonférences de cercles parallèles tracées sur des surfaces sphériques; ces vibrations étant semblables entre elles et isochrones pour tous les points d'une même circonférence. Pareillement, si ce qu'on appelle la surface des ondes est un ellipsoïde, des intégrales en termes finis représenteront encore des ondes ellipsoïdales. Ajoutons que ces diverses ondes auront,.comme les ondes planes, la propriété remarquable de se propager en conservant toujours les. mêmes épaisseurs. Cela posé, il était évident pour moi qu'il y aurait un grand avantage à considérer, s'il était possible, un ébranlement initial, circonscrit dans un très petit espace, comme résultant de la superposition, non plus d'une infinité d'ondes planes dont chacune s'étende à l'infini, mais d'une infinité d'ondes limitées, par exemple d'ondes sphériques ou d'ondes ellipsoïdales. Or cela est effectivement possible, comme le prouvent les formules nouvelles que j'ai l'honneur de présenter à l'Académie, et comme il était facile de le prévoir. Par suite, les lois de la propagation du mouvement dans les milieux isotropes, par exemple, peuvent se déduire immédiatement, et même sans calcul, de la connaissance
(') OEia'res de Cauchy, S. I, T. IV, {). 32.
(les lois relatives à la propagation des ondes sphériques. Or, comme ces dernières se trouvent représentées par des intégrales en termes finis, que l'on obtient sans peine et sans le secours du Calcul intégral, il en résulte que, dans les milieux isotropes, les lois de la propagation du son, de la lumière, etc., peuvent être établies très simplement, de manière même que la plupart des raisonnements, auxquels on a recours, puissent être exposés dans les Traités élémentaires de Physique. La même observation s'applique au cas où la surface de l'onde est ellipsoïdale. Ajoutons que, dans tous les cas, il y aura un grand avantage à décomposer un ébranlement initial limité en ondes de la forme de celles qui peuvent se propager dans le milieu que l'on considère. Or cette forme peut être déterminée à l'avance et se déduit immédiatement de la forme même de l'équation caractéristique, comme je l'ai montré dans les divers Mémoires que j'ai publiés en i8:3o.
Au reste, la seule décomposition d'un ébranlement initial, circonscrit dans un très petit espace en ondes limitées renfermées dans ce même espace, est déjà très utile, quand même ces ondes n'auraient pas la l'orme de celles qui peuvent se propager dans le milieu que l'on considère et seraient, par exemple, réduites, dans tous les cas, à des ondes sphériques. En effet, il suffira de substituer une de ces ondes à l'état initial et de particulariser ainsi cet état pour que les intégrales générales, celles mêmes qui se déduisent de la considération des ondes planes, subissent de nouvelles réductions qui permettront de reconnaître plus facilement les lois des phénomènes; et ces lois une fois établies pour un état initial représenté, par exemple, par une seule onde sphérique, continueront de subsister pour un état initial représenté par un système d'ondes sphériques, c'est-à-dire pour un état initial quelconque.
.le me bornerai, dans le présent Mémoire, à établir les formules générales qui servent à décomposer un état initial en ondes d'une forme donnée, et à déduire de ces formules les intégrales qui représentent les ondes sphériques ou ellipsoïdales. Dans un autre Mémoire,
j'appliquerai les mêmes formules à l'intégration des équations homogènes, ou même non homogènes, par exemple de celles qui représentent les ondulations lumineuses dans le cas où l'on a égard à la dispersion de la lumière.
Analyse.
§ P''. — Formules générales.
On a, comme l'on sait, en désignant par z une quantité positive, qui peut d'ailleurs être très petite.
z dr 77
On en conclut, en désignant par 6 une autre quantité positive et remplaçant r par 0-r,
£ dr
[)uis, en différentiant par rapport à 0 et posant, après la difïérentiation, 0 = r , £ =^ I ,
r" £ r"' dr 71 r" r^dr __ t.
Ces dernières équations, que l'on peut d'ailleurs établir directement, vont nous fournir les moyens d'obtenir des formules générales relatives à la transformation des fonctions de trois variables indépendantes. Soit
une fonction arbitraire de trois variables x, y, z, {\u\ j)ourront éJre considérées comme représentant trois coordonnées rectangulaires. Soit encore
une fonction des mêmes variables, homogène, et tellement choisie <jue la surface représentée par l'équation (i), pour une valeur donnée det.
soit Lino surface convexe, par conséquent une surface continue, fermée de toutes parts et rencontrée en un seul point par un rayon vecteur mené à partir de l'origine, ou même à partir d'un point intérieur quelconque, dans une direction donnée. Enfin soit
(2) âiz=.i{l — jr,ij. — yr-> — ^)
ce que devient x quand on y remplace
cT, y, z
par
\, [X, V désignant les coordonnées rectangulaires d'un nouveau point distinct du point (r, r, z); et supposons l'intégrale triple
étendue à toutes les valeurs de
A, ix, V
qui répondent aux divers points d'un volume -ç dont l'enveloppe extérieure, composée de surfaces planes ou courbes, soit d'ailleurs convexe, comme la surface représentée par l'équation (i). Si l'on transforme les coordonnées rectangulaires
en coordonnées polaires />, q, r, en plaçant la nouvelle origine au point [x, y, z), à l'aide des formules connues
(4) ?■ — r rrz /• cos/^, [J. — >'=:/• sinyo cos y, y — ^ = /■ siii/> siiuy;
si d'ailleurs on suppose le point {-v, y, z) renfermé lui-même dans le volume <?, on trouvera, puisque la fonction S'{x, y, z) est homogène et en supposant de plus qu'elle soit du premier degré,
la valeur de Q étant (6) il = i(cos/?, sin/> COS7, sin/> s'mq)
et, par suite,
(j) .S= M / — 1^— ^^^f(.r + /cos/^, r + /sin/^cos^, z + r i'mp^n\(j)dp chj dr,
l'intégration devant être ciïectuée par rapport aux variables p, q entre
les limites ^ /> = o, /> — TT, y = o, q — 'zr.,
et par rapport à /- depuis une valeur nulle du rayon vecteur r jusqu'à la valeur p qui répond au point où la direction de ce même rayon, déterminée par les angles/? et q, rencontre l'enveloppe du volume v. Concevons à présent que le nombre t devienne infiniment petit.
Alors le rapport
£ / - sin/j
{i- -{- iP r'- Y-
sera sensiblement nul, excepté dans le cas où r diflférera très peu de zéro, et où, par suite, on aura, sans erreur sensible,
f(.r + /• cosy^, y -+- /• sin/>cosy, z + r sin/j siny) == f(.r, )-, z). Donc la formule (7) donnera sensiblement
(8) S = n^,y,^)fJf^'yJ^V^^jji^,,cipdqdr.
Si, dans cette dernière équation, on remplace / par -^> elle donnera
( y ) ^ = f ( ,r , 7, G ) / / / 1^'"/', ^3 dp dq dr.
D'ailleurs, i étant très petit, on aura sensiblement
OKiivrcsdcC. — SA.i.'SX. 27
Donc, si l'on pose, pour abréger,
(,o) 0=5 r C^-^dqdp,
la formule (9) pourra être réduite à
(ri) . è = Q{{x,y,z),
et l'équation (3) donnera
(.2) f(^, V,.-) = '^fff\fl^l^^y cù.d^ch,
la valeur de S{. étant toujours déterminée par la formule
c'/l = .?(/. — X, IX — r, V — c),
et l'intégrale triple s'étendant à tous les systèmes de valeurs de A, a, V qui répondent à des points renfermés dans le volume V.
Dans ce qui précède, nous avons supposé que r?(x,r, g) était une fonction homogène du premier degré. Mais il est clair que l'on parviendrait encore à la formule (12), dans le cas contraire, si le rapport —
se réduisait à une constante finie et différente de zéro, pour une valeur nulle de r. Seulement alors la valeur de 6 ne serait plus celle que détermineraient les formules (G) et (10).
Pour montrer une application très simple de la formule (12), supposons l'équation (1) réduite à
La surface représentée par cette équation deviendra une surface sphérique; et, comme on trouvera
la formule (12) donnera
la valeur si^ étant
(i5) cîi^= (). - ■ry--\-{iJ.-fy+{'^ - ^y--
Or, pour des valeurs indéterminées de
ai, À, l-J., V,
l'équation (i5), si l'on y regarde les coordonnées
comme variables, représentera elle-même une sphère dont le rayon seracîR, le centre coïncidant avec le point ("X, u., v). Ainsi l'équation (i4) peut être considérée comme servant à décomposer une fonction quelconque des coordonnées rectangulaires x, y, z en une infinité de termes dont chacun, étant de la forme
conserve la même valeur, tandis que l'on parcourt la surface d'une sphère qui a pour centre le point (>., w., v). Si, dans une question de Physique mathématique, la fonction
représente le déplacement initial ou la vitesse initiale d'une molécule dans l'intérieur du volume \'^ ou plus généralement la valeur initiale d'une inconnue quelconque h, la formule (i4) pourra être considérée comme propre à décomposer l'état initial en une infinité d'autres états dont chacun offrirait ce (ju'on peut appeler une ondesphériqiie, la valeur de l'inconnue « restant alors la même dans tous les points situés à la même distance du point (a, [j., v).
Dans le cas général, la formule (i4) pourra être considérée comme servant à décomposer un état initial donné en une infinité d'autres du genre de celui qu'on obtient quand la valeur initiale d'une inconnue « dépend uniquement du paramètre t^ de la surface représentée par l'équation (i). Chacun de ces derniers états offrira ce que nous appellerons
une onde ou sphérique, ou ellipsoïdale, etc., suivant que la surface représentée parréquation(i)sera ou une sphère, ou un ellipsoïde, etc. Si l'équation (i), se réduisant à celle d'un ellipsoïde, était de la forme
(i6) i- T= (rtx^-i- by"--^ c:3-+ idyz h- lez.r + i fxy)'-,
a, b, c, d, e,/désignant des quantités constantes, la formule (ro) donnerait
(D étant une quantité positive déterminée par l'équation
( 1 8 ) CÔ- = abc — acV- — be^ — cf--\-i clef;
et, par suite, la formule (12) se réduirait à
la valeur de si^ étant
( Si^^=a{œ-lY+b{y-iJ.Y + c{z-vy-
I +'^d{y — ix){z — v) + ie{z~v){x — l)-^2f{œ--l){y-p.).
Alors aussi l'équation (20) représenterait un ellipsoïde dont le centre coïnciderait avec le point (X, [ji, v).
En terminant ce paragraphe, nous ferons encore une remarque. On pourrait déduire l'équation (i 4)» et c'est même ainsi que je l'ai d'abord trouvée, de la formule
(.0 f{^,y,z)=.ffffffe^-i-'Miy-^^^,^.-.U^.f^l^^^,^^ d^ ^,
que j'ai substituée à la formule de Fourier [voir le XIX*' Cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique, ainsi que les Exercices de Mathématiques), et qui suppose l'intégration relative à chacune des variables auxiliaires a, Ç, y effectuée entre les limites — oc, oc. Quant aux intégrations relatives aux variables auxiliaires X, ix, v, elles devront être,
dans la formule (21), comme dans la formule (i4)» étendues à tous les points du volume \?, si la fonction i\-T,y, z) n'a de valeur sensible que dans l'intérieur de ce volume. Or la formule (21) peut s'écrire comme il suit
(22) f(^-, /, z) =ffj -^ f(>' .'^' '^) ^-^/^ '^'''
la valeur de Jl, étant
D'ailleurs, si les variables auxiliaires
sont considérées, dans l'équation (28), comme représentant des coordonnées rectangulaires, puis transformées en coordonnées polaires à l'aide des formules
a=:/cos/j, S = rs'mp cosq, ■/ = /• sin/> siny,
alors, en posant, pour abréger,
et
(j7 — 1) cos/> -i- (7 — [■>■) sinpcosq 4- (- — v) sinp s\n</ — v cos(5,
on trouvera
,,1, = f — I / / / e'^''"°^^ v' ' /-^ sin /j dp (hj dr.
Par suite, en considérant l'intégrale
/ gtrcosOv'~,.2^,.
comme la limite vers laquelle converge la suivante
«^ 0 tandis que le nombre £ s'appi'ocbe indéfiniment de la limite zéro, et
2il COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.
ayant égard à la formule connue
/ I /{vcoso) s'in p dp d(/ = 2- /{x. cosp)s'mp dp, on aura définitivement
Or cette dernière valeur de A-, substituée dans l'équation (22), la fait effectivement coïncider avec l'équation (i4).
§ II. — Ondes sphériques ou ellipsoïdales.
Supposons que, le polynôme
« J7^ -i- bj^ -+■ cz--h idyz H- o.ezx -+- if-ry
étant positif pour des valeurs quelconques de x, j, z, et la fonction
F(^,.,>-, -, 0 étant <le la forme
F (.r, /, ^, /) = a^- + by- -h c:;- -h 2 dyz + lezx -^ '^/■^J — ^'» l'inconnue a doive vérifier l'équation aux différences partielles (i) F(D^. D,.,D„D,)h=:o,
les variables^, y, z, t représentant d'ailleurs trois coordonnées rectangulaires et le temps. On pourra satisfaire à l'équation (i), en posant
(2) \iz=.Tï5{ux -[- vy + wz±st),
la lettre tn indiquant une fonction arbitraire, et z/, r, w, s désignant des coefficients constants liés entre eux par la formule
(3) Y{u,v,iv,s)—o.
Par suite, on vérifiera encore l'équation (i), si l'on pose
(4) 8=:Km(v±:0,
la valeur de i étant
,Kv ux -\- l'v -h ^vz
et K désignant^une fonction quelconque des coefficients //, ç, «r. D'ailleurs, pour une valeur constante de t, l'équation (5) représentera un plan dont la position sera variable dans l'espace avec les valeurs des coefficients
et la surAice, enveloppe de ce plan, pourra encore être représentée par l'équation (5) pourvu que l'on y considère
non plus comme des quantités constantes, mais comme des fonctions de .r, j, z déterminées par la formule
•V y z uj: -{- V V -\- WZ
\)uS \)^,S \),,,S S
Or, sous cette condition et en posant, pour abréger,
( 7 ) CD = ( «fc — acP — be"- — cp -\- 1 def ) ^ ,
hc — cl' ca — e°^ ah — f-
ej — ad fd~he de — cf
on verra l'équation (5) se réduire à la suivante
(9) '-^ = a.r=' + by2 + c-^ + 2 i\yz + 2 e sj? + o. {xy,
qui, pour une valeur constante de ï, représente un ellipsoïde. Enfin on s'assurera aisément que la valeur de » fournie par la formule (2), quand on y substitue la valeur de t que donne la formule (9), continuera de vérifier l'équation (i), si l'on y suppose
216 COMPTES UENDUS DE LACADÉMIE.
Ainsi
(II) ^——^ ' et ^— -^
représenteront deux intégrales particulières de l'équation (i).
Supposons maintenant que la valeur initiale de «, correspondante à une valeur nulle de t, dépende uniquement de la quantité positiver, considérée comme fonction de x, y, z en vertu de la formule (9). Si l'on représente cette valeur initiale par f(t), en supposant nulle la valeur initiale de D^h, c'est-à-dire si l'on assujettit l'inconnue h à vérifier, pour / = o, les deux conditions
il est clair qu'on pourra prendre
cj(t + 0 4-ct(c — t)
pourvu que l'on prenne, en supposant ï positif,
(13) TS{^) — w{—x) — xï{^).
Or, si la valeur initiale f(t) de ^ n'est sensible qu'à de très petites dislances de l'origine, et entre les limites
c désignant un nombre très petit, la valeur de «, au bout du temps l, ne sera sensible qu'entre les limites
par conséquent entre les surfaces des deux ellipsoïdes représentés par les équations ([4). Ajoutons que, si l'épaisseur de l'onde comprise entre ces deux ellipsoïdes est mesurée dans le sens de la nouvelle coordonnée t, cette épaisseur sera constante et représentée par 21. Observons enfin que la formule (19) du § P' permettra de ramener iinmédiatement le cas où la valeur initiale de « serait d'une form(>
quelconque, mais sensible seulement dans le voisinage de Foi'igine, au cas que nous venons de traiter.
Lorsqu'on suppose
on a par suite
a = b := C, cl ==: 0 =:^ f = O,
et l'équation (9), réduite à
représente, non plus un ellipsoïde, mais une sphère, lorsqu'on attribue à ï une valeur constante. Alors, par suite, les ondes ellipsoïdales se réduisent à des ondes sphériques.
Dans un prochain Article je montrerai comment la formule (12) fournit les lois de la propagation des ondes sphériques ou ellipsoïdales dans les milieux élastiques.
Calcul lntégral. — Mémoire sur l'emploi de la transformai ion des coordonnées pour la détermination et la réduction des intégrales définies
multiples.
t. R., t. XIII, p. 33 (i9. juillet i84i).
Dans un Article que renferme la [\çf livraison des Exercices de Mathématiques ( ' ), j'ai fait voir que le passage d'un système de coordonnées à un autre fournit le moyen d'établir quelques formules dignes de remarque, qui servent à la transformation ou à la réduction de certaines intégrales définies simples ou doubles, et qui comprennent, comme cas particulier, une formule donnée, en 1819, par M. Poisson.
(*) OEia'rcs- de Cauclij, Série 11, Tome IX.
OF.uvres de C. — S. 1, t. VI. 28
Je me propose, dans ce nouveau Mémoire, d'établir quelques autres formules du même genre. Lorsqu'on les applique à la transformation de l'intégrale quadruple qui représente la fonction principale propre à vérifier une équation caractéristique homogène aux différences partielles, on voit cette intégrale prendre successivement diverses formes, parmi lesquelles se trouvent comprises celles que M. Blanchet a obtenues, dans le Journal de Mathématiques de M. Liouville.
Analyse.
is I«.-, ^ Fonnules déduites de la transformation des coordonnées
dans un pian.
Soient x, y deux variables réelles, et
deux fonctions réelles de ces variables. Il est facile de voir que, si l'on
représente par
des constantes réelles, on aura, non seulement (i) r i{o^x)dx = -^l f{x)dx,
mais encore
(2) r" r î{y.Jc-\-oL'f, S.r-^Sy}dxdy=^f j {{x,y)dxdy,
£1 désignant une quantité positive déterminée par la formule
Supposons maintenant que, dans la formule (2), on remplace les variables œ, y, considérées comme représentant des coordonnées rectangulaires, par des coordonnées polaires r, p, à l'aide des formules
connues
.r =z r cosp, J = '■ sin/>.
que l'on peut écrire comme il suit
en posant, pour abréger,
(4) ii^zcosp, {>=zsinp; on trouvera
(5) f f f[i<xu^o^'i')r, {Sit-h6'i')r]rdpdr = ^^ f f ï{ur,vr)rdpdr. Si d'ailleurs, en supposant
on fait, dans la formule (5),
alors, en ayant égard à l'équation
J' re^'dr =^1, et posant, pour abréger,
(6) 0 = [(a« + a'r)' + (6/^4- 6'(')']S on tirera de la formule (5)
Si l'on supposait les coefficients
IX, oc 5 6, 6
assujettis à vérifier les conditions
(8) a^ + 62 r= I , a'2 + 6'^ = I , aa'-+- 66'= o,
on aurait, par suite,
et la foniuile (7) se trouverait réduite à
§ II. — Formules déduites de la transformation des coordonnées
dans V espace.
Soient
trois variables réelles,
une fonction réelle de ces variables, et
neuf constantes réelles. 11 est aisé de s'assurer que, si l'on pose
( I ) ^ — \/{<xS'y"— a6"y'+ x'S"y — x'f/'-i- a"Sy'— x"¥y)- ,
on aura
If f r f (a a' + x'v + x"z, ê ^ 4- ey + e"z, y ^ + y > + y"z.) dx dy dz / =Ô / / / ^{Jc,y,^)dxdydz.
Supposons maintenant que, dans cette dernière formule, on remplace les variables
considérées comme représentant des coordonnées rectangulaires, par
des coordonnées polaires
à l'aide des formules connues
X = /• cos/j, /? rr= /sin/j cos^/, /■ =: /sin/^ sin(7, que l'on peut écrire comme il suit
.r = «/*, y rr <•/•, z =^ wr,
en posant, pour abréger,
(3) u=cosp, i' = s\npcos(j, w — sinpsim/.
On trouvera
/ / / f [(^ « + ^'^ + a"»') /•, (S a -+- ê'c + 6"\v) r, {y u -h yU- + y"»v) /•] f/y f/^y ^z-
Si d'ailleurs, en supposant
rr; \'x^ H- J^
on fait, dans la formule (4), alors, en ayant égard à l'équation et posant, pour abréger,
(5) & = [{xu-^x'i'-[- a" wy- ^ {S u -h Q' V -h S" ivy- -h (y a -i- y' i' -i- y" a,yy ^
on tirera de la formule (4)
]Jo Jo -^K "® ' ® ' « j 0^
! ~ ïîj J -^^ "' '^'' '^^^ ^'"-^^ ^'^ ^^'
Si l'on supposait les coefficients
assujettis à vérifier les conditions
I a'a"+6'6"+y'/=rzo, a"3c + S"6 + /'y == o, aa'4- 66'+ yy'r^o,
on aurait, par suite,
et la formule (5) se trouverait réduite à
1 f I /(^ " + ^'^ + ^"•^' ^ " + ^'*' + ^""^' y " "^ y'^' "^ y"*''^ sinpdq dp
f =: / / f{u, v,w)s'mpdqdp.
Si les trois dernières des conditions (7) étaient seules remplies, alors, en posant
on trouverait
(10) ^ = pp'p\ Q = {p'ir- + p"v'-\-p"'i^')^.
Lorsque, dans la formule (8), on suppose la fonction f(œ,y,z) réduite à une fonction f{x) de la seule variable x, on a simplement
[ I I /{occosp ^(x'sinpcosq -h a"s\np&\nq)sinpdqdp
ITT / /{cosp) s'mpdp.
c'est-à-dire que l'on se trouve ramené à la formule donnée par M. Poisson, en 1819.
Si, dans l'équation (6), on pose
^(.r,,,.-) = (i)V(|)> les valeurs de x, (f, '^ étant
il suffira, pour satisfaire aux trois dernières des conditions (7), de
prendre pour
trois systèmes de valeurs de
choisis de manière à vérifier la formule
et correspondants aux trois racines de l'équation en 0, que l'on obtiendrait en éliminant de cette formule a, 6^ y. Supposons d'ailleurs que
les équations
[ ax -\- fy -{-ez-=iy,,
(i3) \ fx + by + dzz^Y,
\ e X -\- dy + c z =i7.,
étant résolues par rapport à x, donnent
/ a; — ax + f y H- ez, (i4) j = fx + by-i-dz,
' ^ = ex 4- dy 4- cz.
Enfin nommons P, Q ce que deviennent ($ et ^ quand on y remplace
X, /, z par u, V, Kv,
et posons
\ (Q^{abc—ad'' — be'- — cp -^ idef)- , (i5) \ X
K = ( a A- + b A- + c /^ -+- 2 d kl + 2 c /// + 2 IV/A.)-' .
On tirera de la formule (6)
^nxpdn cos^p
Cette dernière équation coïncide avec l'une de celles que j'ai données dans la 49*" livraison des Exercices de Mathématiques.
Avant (le terminer ce parograplie, nous citerons encore une formule générale à laquelle on se trouve conduit par la transformation des coordonnées rectangulaires en coordonnées polaires. Si, dans l'équation connue
{{x, y, z) dv il Y dz [ := / / I f {a/-, i'r, wr) r- s'in p dq dp dr,
on remplace
par
et si !
l'on pose d'
ailleurs
- - =. lang/^ ces
on trouvera
-ri-
z w W ::.— - t= — = tang/^ sin7,
(■9) rYV(v,w)-^'i4^=,rr/(v,w)rfvrfw.
t/o «^0 cos-/> V cos^/:> J-^.J^or,
Nous avons, dans ce Mémoire, employé, pour la réduction des intégrales définies doubles, des transformations de coordonnées rectangulaires en d'autres coordonnées rectangulaires ou polaires. On obtiendrait de nouvelles réductions du même genre si l'on employait, comme je l'ai fait autrefois dans le cours de iMécanique de la Faculté des Sciences, des coordonnées d'une nature quelconque, en considérant un point de l'espace comme déterminé par l'intersection de trois surfaces courbes, dont chacune se trouverait représentée en coordonnées rectangulaires par une équation qui renfermerait un paramètre variable. C'est là, au reste, un sujet sur lequel je me propose de revenir dans un autre Article.
EXTRAIT N° 131. /^^\}'T:^^^>^-' 223 (( rNIVEKSlTÏ
Calcul lntégral. — Mémoire sur diverses transformations remarquables de la fonction principale qui vérifie une équation caractéristique homogène aux différences partielles.
