C. R., T. XIII, p. 4o (12 juillet iS^i

Supposons que

représente une fonction de x, j, ::, /, homogène du degré n, et dans laquelle le coefficient de t" se réduise à l'unité. Nommons d'ailleurs ct une fonction principale assujettie à vérifier, quel que soit /, l'équation caractéristique homogène

et, pour f = o, les conditions

(2) CT = o, ]),nT = o, ..., \yi-'^m=.m{x, y,z).

La valeur générale de w, comme je l'ai fait voir dans le Bulletin de M. de Férussac, on i83o, et, plus récemment, dans mes Exercices d'Analyse, pourra être représentée par une intégrale définie quadruple. On aura, en effet,

(3) ^ ^ J>r" r'"" r r-'' r"" p o/'-' t' smp sin ot^q., ix, v) ^y dp d-d^j

2*^'.'o .'o Jo Jo ^ ((F(«,i^U',G)))) C0S^ôv/(^^^'

le signe ^ étant relatif aux diverses valeurs de la variable auxiliaire to, considérée comme racine de l'équation

les valeurs X, [x, v, cos§ étant déterminées par les formules

(5) \-=LX -\- as, ix=:y-Jr£s, v — z-+-ys,

(6) cos§ = y.i/ -j- Si- -h yn>;

OEmres de C. — S. I, t. VI. 29

et les valeurs de a, 6, y, //, v, w, s étant

( ar=cos9, ê = sin5cosT, y=:sin5sinT,

f « rrr COS/^, (' := sin/> COS7, (V =: sin/» sin 7 ;

coso Ajoutons que la caractéristique

devra être réduite à D^ si l'on a n = 2, remplacée par l'unité, si l'on a /^ = 3, et indiquera /z — 3 intégrations elTectuées par rapport à t, à partir de l'origine ^ = o, si le nombre entier n devient supérieur à 3. Il est bon d'observer que, la fonction

Y{x, y,z, t) étant homogène, les racines w de l'équation

(9) F(hM, hc, hir, 0)) =^ o

seront les produits de h par les racines correspondantes de l'équation (4), quel que soit d'ailleurs le facteur h. Cela posé, n étant le degré de Y(xy y, z, t), on pourra généralement remplacer la formule (3) par celle-ci

^y^-a ç-^' ç-^ /-2U çT. (^n-H^^\^pç^\^^rj^Q^^^.j^ <^<y dp d- M

2'7:V„ Jo X X ^ ((F(ha, hp, h(v', G)))) cos^ôv/cos^ô'