CI
pourvu qu'à la formule (8) on substitue la suivante :
h cosô
Si, pour fixer les idées, on prend h = - = - — > on aura
(12) ny
Dl^ ^2u ^71 27^ „u ^ cyn-it^s\nps\n9u5{l,ix,v) dgdpdzdS ^ "^^'X Xi X ^ ((f(i, -,-, o>))) cos^^V^^^^'
la valeur do s étant
(j)tCOS,p ())t
On peut observer encore que le dernier membre de la formule (i3) et la fonction
f[ I, -) — > 0) j = F(i, lang/>cosg, isxngpsing, o))
ne renferment l'angle/» que sous le signe tang, et que, si l'on pose,
pour abréger,
tang/) = k,
on aura généralement
Cela posé, la formule (12) donnera
■ ' ^'^ Jo Jo Jo J^ <-^((i^(i> /^"COSY, A-smry, w))) K'* ^
pourvu que l'on pose
(16) ^ = y ('^) -^ v/(=' + SA-cosry + yAsin7)2
et
Les formules établies dans le précédent Mémoire fournissent aussi divers moyens de transformer le second membre de l'équation (3) ou (12).
Supposons, par exemple, que l'on veuille appliquer à cette transformation la formule (8) de la page 222. L'application pourra s'efl'ectuer de deux manières différentes. En effet, on pourra, ou remplacer les variables a, V, \v, considérées comme représentant les coordonnées rectan-
gulaires d'un point situé à l'unité de distance de l'origine, par d'autres coordonnées rectangulaires de la forme
OU remplacer les variables
considérées pareillement comme représentant les coordonnées rectangulaires d'un point situé à l'unité de distance de l'origine, par d'autres coordonnées rectangulaires de la forme
«a + a'S + «"-/, i^a+ (^'S -f- ('"7, (ï'a + iï''o + (v"7.
L'angle 0 se trouvera remplacé, dans le premier cas, par p; dans le second cas, par 0; et, par suite, on tirera de la formule ([2), dans le premier cas,
la valeur de t) étant
et la valeur de s étant
Au contraire, dans le second cas, on tirera de la formule (3)
(21) rn = --^^,J^ J^ J^ J^ ^ ((F(«,r,u',o)))) cos-^^^v'^^^'
les valeurs de X, a, v, s étant
I >, = jr + ( M a + «' 6 + «" 7 ) s,
(22) j fjL= j+ (t'a + r' 6 + «'" 7).s ( V =: :; 4- (iT-aH- tr'6 H- «^"7)5;
Si maintenant on pose k = tang/> dans la formule (i8), on trouvera
(^^> ''=-I^i il l.l ((»)) W'^-drdOé.M,
la valeur de t) étant (■2.5) t>=:F[a4-/c(a'cos7 4-a"sin7), S4-/c(S'cos^ + 6"sin7), 7 + A(-/cos7 + y"sin'/), oj;
puis, en remplaçant k par -> et co par -» on trouvera
,27r ^71 ^2TC
, ,-v '>?"' r-" /•■' r"- f p.î''-isin8ra(X,f«,v) ,-p; , „ , „ (^6) -=-^j^ jj^ j__£ -^^^f^^A-A./',^,*,
le signe ^ étant relatif à la variable s, la valeur de 8 étant
(27) -S = F[a^ + (a'cos<7 + a"'sin«7)A-, Bt-ir{&'cosq-\-6"s'mq)k, yt-h(y'cosrj-hy"sinf/)k, s],
et les valeurs de X, [x, v étant données par les formules
(5) l=za: -h ixs, ix=y-\- ^s, v=:z-i-ys.
Si, au contraire, on pose k = tangO dans la formule (21), on trouvera
les valeurs de X, [x, v étant déterminées par les formules
/ \ r=z X -]- [u -\- («'cosr 4- u" sinr)A]o)Z,
(29) ' ^=: v+[r + (('' COST + r" sin-)Â]a)/,
( V = :; + [u' 4- («ï''cosT+ iT'"sinir)/.-]&)^;
puis, en remplaçant k par -^ » on trouvera
(3o) ^:..-^^ r r r r i'-:çpi^(t^^T'urd,d,é,,
les valeurs de A, a, v étant
1 /. r= j" + [m; + («'C0St4- ll"S]n-)k](jy,
(3l) < ix=z y -Jr[i>t -+- (v' CO&Z -i- i'"sin-:)/x]rj),
{ V r=r ^ + [(W + ((r'cosr + iT'"sinT)A]o).
Les formules (24), (26), et celle que l'on déduirait de la formule (18), en ayant égard à l'équation (19) de la page 224, s'accordent avec les formules trouvées par M. Blanchet, dans le cas où l'équation caractéristique est du sixième ordre, et qui peuvent être étendues, comme il l'a remarqué lui-même, au cas où cette équation caractéristique serait d'un ordre plus élevé.
Lorsque
se réduit à une fonction homogène de t et de la variable r déterminée par la formule
la valeur de ^, déduite de l'équation
dans laquelle on suppose S défini par la formule (27), se réduit à une
fonction du binôme
Gomme alors on a
\)is= j D/,.s
et, par suite, en nommant /(s) une fonction quelconque de s,
D,f{s)=jh,f{s),
la formule (2G) donne
(33) cj r= •— D?-" / \ t y -— ^ ^ ^' ' d- dh,
pourvu que le produit
r'uy{x, j, c) = (^2 ^ j2 ^ z'-)Tn{.v, y, z)
se réduise à zéro avec -•
Dans un autre Mémoire, nous montrerons ce que deviennent les formules précédentes, quand on particularise la fonction cî(^, y, :;), et nous déduirons des formules ainsi obtenues les lois des mouvements représentés par un système d'équations aux différences partielles.
Calcul intégral. — Mémoire sur rintégration des systèmes d'équations linéaires aux différences partielles.
