C. R., t. XIII, p. 97 (jg juillet i84i
Considérons un système d'équations linéaires aux dérivées partielles et à coefficients constants, dans lesquelles les variables indépendantes soient les trois coordonnées rectangulaires x, j, z d'un point quelconque de l'espace, et le temps t. Si l'équation caractéristique, correspondante au système des équations données, est homogène, la fonction principale, propre à vérifier cette équation caractéristique, pourra être représentée à l'aide d'une intégrale quadruple, comme je l'ai prouvé, il y a longtemps, dans mes Leçons au Collège de France [voir, dans le Bulletin des Sciences de M. de Férussac, le Cahier d'avril i83o). Or, pour que cette intégrale quadruple se réduise à une intégrale double, il suffit que la fonction arbitraire de x, y, z, de laquelle dépend la fonction principale, se réduise à une fonction de la distance du point [x,y,z) à l'origine des coordonnées. On peut d'ailleurs, comme je l'ai montré dans un précédent Mémoire, ramener à ce cas particulier le cas plus général où la fonction arbitraire dont il s'agit prend une forme quelconque.
La réduction que j'obtiens est fondée sur l'emploi d'une formule que j'ai donnée dans la 49^ livraison des Exercices de Mathématiques. Je rappellerai cette formule dans le premier paragraphe du présent Mémoire, et je la ferai servir dans le second paragraphe à la réduction
énoncée.
Analyse.
§ P"". — Formules préliminaires.
Supposons que, les valeurs de u, v, w étant
(i) u =^ cosp, V r='siiipcosq, iv=: smps'mq,
P, Q représentent des fonctions réelles des varial)los ii, ç, w, et que ces fonctions soient déterminées par les formules
(3) Q = (an^-h bv^-{- av^-h 2 dvw + 2 eivu -+- 2/uvy,
a, b, c, cl, <?,/; a, 6^ y désignant des constantes réelles. Concevons encore que les équations
( 4 ) au -\- fv -^ ew — O, /« + hv -\- dw = -Q, eu + dv + c(v =: \K>, étant résolues par rapport à u, v, w, donnent
(5) // = aO 4- ft? + exjp, v— fO + bx? + d^, w = 60 + d\'^ 4- d^. Enfin posons
(6) . 0 = {abc — ad'' — he'' ~ cf- + 2 r/e/) % OU, ce qui revient au même,
(7) | = (aljc-ad2-be2— cr-+2deff, et
(8) K = (aa2+bê2+cy2|^(|gy ^ 2073: + 2 f3cê)S
et nommons f(a7) une fonction quelconque de x. Une formule établie dans la 49^ livraison des Exercices de Mathématiques, et qui se déduit aussi des calculs que j'ai présentés à l'Académie dans la dernière séance, donnera
On peut, dans les formules qui précèdent, considérer les variables
qui vérifient l'équation
comme représentant les trois coordonnées rectangulaires d'un point A
OF.uvres de C. — S.\, i.W. 2>o
situé à l'unité de distance de l'origine 0. Si d'ailleurs les coefficients
vérifient la condition
(lo) a^+S^+yî^ri,
ils pourront être censés représenter encore les coordonnées d'un point B situé à l'unité de distance de l'origine ; et, si l'on nomme B l'angle compris entre les droites OA, OB, on aura évidemment
(il) cos 0 =: xu -\- Bv -\- yw=^P;
d'où il résulte que l'équation (lo) pourra s'écrire comme il suit
J J \ Q~/ — 0^0"/ ^(^cos/^)sm/^c?/;.
Considérons maintenant, d'une part la droite OB représentée par l'équation
oc 6 y
et, d'autre part, l'ellipsoïde représenté par l'équation
( I /i ) ao'- -+- by- -h c c^ h- 2 dyz + 2 ezx -+- i fjcy =; i .
Cette dernière équation pourra se mettre sous la forme
pourvu que l'on pose
/' ax -\- fy + e^ =; ^, (lo) < fjc-^by-^dz^IJ,
\ ex -\- dy -\- cz:=<:.
Supposons d'ailleurs le point (^,jk, :?) choisi sur la surface de l'ellipsoïde de manière que le plan tangent, mené par ce point à l'ellipsoïde, soit perpendiculaire à la droite OB. On aura
a s y (XJc -\-&y -\-yz ~ (xx -h Sy -j- yz'
et, comme les équations (i5) donneront
l ^•r=a<'X'.+ f.j4- ei-, (17) J'=:^\:-f-b.T-^dt-,
( :; ~e~K-^d.J+ et-,
on tirera de la formule (16), après avoir réuni les termes correspondants des trois premières fractions, respectivement multipliés : 1° par les coefficients a, f, e; 2.° par les coefficients f, b, d; 3" par les coefficients e, d, c,
aa- + êj + yx; aa + fg + ey fa + bê + dy ea + do + cy'
puis on conclura de cette dernière formule, en réunissant les termes correspondants des trois dernières fractions, respectivement multipliés
par a, £, y,
I __ a^r + êj' H- y^
oca; -]-Qy -{-yz ~ K^ ~'
et par conséquent
Donc, la quantité positive K représentera la valeur numérique du produit
(xa: -+- êj + yz,
c'est-à-dire, la distance de l'origine au plan qui touche l'ellipsoïde représenté par l'équation (r4), et qui est perpendiculaire à la droite OB. Cette conclusion suppose que les coefficients a, fj, y vérifient la condition (10). Dans le cas contraire, K serait le produit de la distance dont il s'agit par la longueur y/aM^^M^"^. Quant à la quantité 6, elle représentera, dans tous les cas, le quotient qu'on obtient en divisant l'unité par le produit des trois demi-axes de l'ellipsoïde (i4), ou, ce qui revient au mémo, par le ^ du volume du parallélépipède circonscrit.
Observons encore que, dans tous les cas, la valeur de K^ sera ce que devient la fonction
P = au -h Si' -hytv
quand on y substitue les valeurs de u, c, w tirées des formules
au 4- fv -H eiT- = a, f(i 4- bv -H d\v =z ê, e/< 4- <^(' 4- cip trr y,
OU, ce qui revient au même, des équations
(i8) iD„Q'=^, iD,Q^=S, iD,vQ-^=7.
De plus, pour obtenir la quantité 6^ il suffira de poser
fD^^iD^^ID^^,^^
ou, ce qui revient au même,
nu 4- /V 4- eiv fu 4- ^c 4- «it»' eu 4- <^t' 4- CU' .
( 20) ^ = ■ ^= — 'Ji
puis d'éliminer u, ^\ w de la formule (20), et de faire 0 = o dans le premier membre de l'équation résultante
(21) {a — 'J){b — e){c — 0)-~{a — S) d'-—{b — 0)e^—{c — h)P 4- 2 dej = o,
écrite sous une forme telle que le coefficient de 0' se réduise à — r. On peut dire aussi que la valeur de 0=^ sera le produit des trois racines de l'équation en 6.
Si, dans l'équation (8), on remplace la fonction f par sa dérivée f, l'intégration indiquée dans le second membre pourra s'effectuer, et l'on trouvera
^ ^ f(K)-f(-K) 0 r^'"" r\,(^Yn^pdqdp
Si, de plus, f(^) désigne une fonction impaire de x, on aura
f(K)=-f(-K), et par suite
f(K) 0 f^"" f'^f,fP\smpdqdp
Soient maintenant
(24) q = UX + Vf -^iVZ,
et
(25) t = (a^2+ b/'-f- cz^^ 2(lfz + 2 ezx + 2 f,37/)%
ce que deviennent P et K quand on y remplace
a, 6, y par ^^ y, z. La formule (22) donnera
(^a\ f(>.) — f(— t) 0 r'"" r""/ q\iiin pdf/ dp ^
puis, en supposant que f(^) soit une fonction impaire de Xy c'està-dire, en supposant que l'on ait
on en conclura
, . f(0 0 f''' f' f ç\s\npdgdp
Enfin, si l'on pose
on aura, par suite,
et la formule (2G) donnera
la valeur de r étant
puis on en conclura, si t\a;) est une fonction impaire de x,
D'ailleurs, f(.r) étant par hypothèse une fonction impaire de la variahle .t, si 1 on pose
^{^) sera une fonction paire de la même variable. Donc les formules (27) et (3o) pourront servir à transformer une fonction paire du radical
ou même du radical t déterminé par la formule (23), en une intégrale double, dont chaque élément, considéré comme fonction de x, y, z, dépendra de la seule variable
ç--= ace -h i'f -\- wz,
c'est-à-dire, d'une fonction linéaire des trois variables .r, j, z. Cette transformation remarquable fournit une méthode directe d'intégration pour les équations linéaires, comme nous l'expliquerons dans un autre Mémoire.
§ lï- — Réduction de la fonction principale correspondante à une équation
caractéristique homogène.
Soit
une fonction des variables
homogène, du degré n, et dans laquelle le coefficient de /" se réduise à l'unité. La fonction principale m, correspondante à l'équation caractéristique
sera
■^'^•\h Jo Jo Jo ^ ((F(«, r, <»^, co))) cosMv/côs^'
le signe ^ étant relatif à la variable auxiliaire w, pourvu que l'on pose
I M = cos/), «' = sin/>cos7, (v=: sin/? siny,
( a=rcos(5, 6 = sin9cosT, y — sin{>sinT,
(4) COSÔ rr: a« H- Sp + ytr,
(5) X=:J7H-3C5, jUl.— / + S.Ç, V =; 3 + y.S,
coso
Supposons maintenant que
ou la valeur initiale de D^'''rar, se réduise à une fonction paire de la seule variable
(7) /• = v/.i'-'-+-7' + -% en sorte qu'on ait
Si l'on pose
(9) p = V^X^T^/jL» +~vS
on aura encore
et, par suite,
D'ailleurs, on tirera des formules (5) et (9)
la valeur de « étant
(•2) ^z=z ot.x -^-'èy -\-yz,
ou, ce qui revient au même, eu égard à la formule (6),
cos^o
Donc, si la lettre Q désigne une quantité positive déterminée par la formule
que l'on peut écrire comme il suit
f + /- [xu -+- bv -{- ytvy,
on aura simplement
' ' cos-o
et la formule (lo) deviendra
(l6) TS — —
D|^ / r Ç i Ç - ycosQ/ dqdpjhdB^
2^^.70 ^0 ^0 ^0 ^ T(T(;/, r, u', G)))) "cos^v^co^'
Il importe d'observer qu'en vertu des équations (4) et (i4) cos'îet Q^ seront deux fonctions entières homogènes de a, 6, y, l'une du premier degré, l'autre du second. Cela posé, si, dans la formule (12) du §11, on échange entre eux les deux systèmes de quantités
a, ê, y et //, c, «v, alors, en posant
on trouvera
dQ
la valeur de K^ étant celle qu'on obtient quand on substitue, dans le trinôme
« a + (' ê + n'y =r. cos ô,
les valeurs de a, 6, y tirées des équations
(i8) A1),Q^=«, iDgQ^^i-, |DyQ2=ir;
et la valeur de 6'-^ étant le produit des trois racines de l'équation en 0 à laquelle on parvient en éliminant a, 6', y de la formule
V y^ oc - e — y ~
Comme on aura d'ailleurs, en vertu de la formule (lA)» jointe aux équations (4) et (12),
1 Dr^Q^=: (ji- t^U + (/•- COSO + HMt) Il -+- h^tX cosô,
\ DgQ-= o)-^2g | ^,.2 COSO H- «wO <' + w</ cosô, iI)^Q-= o)-^-y + (/•- cosô -H aw^)"' + w^-2 cosô,
les formules (18) donneront
, oUa 4- .ï' cosô W^ê-hVCOSÔ 0)^7 + 2 cosô I — /"^COSÔ — «G)/
puis en posant, pour abréger,
(21) ■ iix -\- vy -\- wzT=^q^
et réunissant les termes correspondants des trois premières fractions comprises dans la formule (20), après les avoir respectivement multipliées : i'' par a, i', w, 2° par x, y, z, on trouvera
