C. R.. T. XIII. p. 109 (19 juillet

Comme je l'ai prouvé, dans les Exercices d' Analyse et de Physique mathématiques, l'intégration d'un système d'équations linéaires, différentielles ou aux dérivées partielles, et à coefficients constants, peut être réduite à la détermination de la fonction principale. Si, pour fixer les idées, on suppose que les équations linéaires données se rapportent à un problème de Physique ou de Mécanique, le temps fera partie des variables indépendantes; et si, alors, comme il arrive d'ordinaire, le coefficient de la plus haute puissance de D^, dans l'équation caractéristique, se réduit à l'unité, la fonction principale se trouvera complètement déterminée par la double condition de vérifier l'équation caractéristique dont l'ordre sera un certain nombre entier//, et de s'évanouir, pour une valeur donnée, par exemple, pour une valeur nulle du temps, avec ses dérivées relatives au temps et d'un ordre inférieur à n — \. Quant à la dérivée de l'ordre n — i, elle devra se réduire, pour une valeur nulle de la variable indépendante t, soit à une constante donnée, soit à une fonction donnée des autres variables indépendantes, suivant qu'il s'agira d'intégrer des équations différentielles linéaires ou des équations linéaires aux dérivées partielles.

EXTRAIT N° 13V. 2Vo

Pour évaluer la fonction principale telle que je viens de la définir, j'ai eu recours, dans les Exercices d'Analyse, à la formule de Fourier, ou plutôt à une formule du même genre que j'ai substituée à la première, et fait servir à l'intégration des équations linéaires aux dérivées partielles, dans le XIX^ Cahier du Journal de l'École Polytechnique. Lorsque les équations données se rapportent à un problème de Physique ou de Mécanique, elles renferment en général, avec le temps /, trois autres variables indépendantes, qui peuvent être censées représenter des coordonnées rectangulaires; et la fonction principale, calculée comme je viens de le dire, se trouve représentée par une intégrale définie sextuple. Pour reconnaître les lois des phénomènes, on est obligé de faire subir à cette intégrale sextuple diverses réductions. Parmi ces réductions on doit particulièrement remarquer celles qui se rapportent au cas où l'équation caractéristique est homogène. Alors, comme je l'ai prouvé en i83o, l'intégrale sextuple est généralement réductible à une intégrale quadruple. Elle sera même, comme je viens de le montrer dans le précédent Mémoire, réductible à une intégrale double, si la valeur initiale de la' fonction principale prend certaines formes particulières, si, par exemple, elle dépend uniquement de la distance d'un point variable à l'origine des coordonnées.

L'importance des réductions que je viens de rappeler m'a engagé à rechercher s'il ne serait pas possible d'obtenir directement les formules réduites. J'ai été assez heureux pour y parvenir. On verra dans ce nouveau Mémoire que, en se servant du calcul des résidus, on peut, non seulement obtenir avec une grande facilité la fonction principale correspondante à une équation différentielle caractéristique, mais encore passer de cette fonction principale à celle qui vérifie une équation caractéristique aux dérivées partielles, homogène ou non homogène, et en particulier, à l'intégrale double ou à l'intégrale quadruple qui représente la fonction principale pour une équation caractéristique homogène.

Analyse.

^1. — Sur la fonction principale qui vérifie une équation différentielle

linéaire.

Soit F(/) une fonption entière de t du degré /^ dans laquelle le coeftieient de ^'' se réduise à l'unité. Soit en outre gt une fonction principale assujettie à vérifier, quel que soit/, l'équation caractéristique

(0 F(D,)nTr=o,

et, pour / = o, les conditions

0 désignant une quantité constante. Pour que l'équation (i) soit vérifiée, il suffira que l'on prenne

S désignant une racine de l'équation .

ou plus généralement

(A pSl

(■) pouvant désigner une quantité constante, ou une fonction entière de s. Comme on aura d'ailleurs, en supposant m <C, n — i ,

<^((F(.v))) et, en remplaçant m par n — i dans la formule précédente,

la valeur de gt donnée par la formule (4) vérifiera évidemment les con-

ditions (2) si l'on y pose 6 = 0. Donc la valeur cherchée de la fonction principale cr sera

^ II. Sur les fondions principales dont les dérivées offrent des valeurs initiales qui dépendent seulement d'une fonction linéaire des variables indépendantes.

Soit

une fonction de plusieurs variables a;, y, z, t, entière, du degré n, et dans laquelle le coefficient de t" se réduise à l'unité. Supposons d'ailleurs, pour fixer les idées, que les variables x, y, z, t, réduites à quatre, représentent trois coordonnées rectangulaires et le temps. Iinfin, soit c7 une fonction principale assujettie à véritier, quoi que soit t, l'équation caractéristique

(1) F(D^,I)^,JK,D,)î^ = o,

et pour / = o les conditions

(2) GJ=:0, D/TH — O, ..., Dr-C7 = 0, W^^ -05 — ^3 {.T , V , z).

On pourra aisément trouver la valeur générale de gt si, l'équation caractéristique étant homogène, la valeur initiale de D^'cr, représentée par gt(x,j, z), dépend uniquement d'une fonction linéaire des variables indépendantes oc, y, z, en sorte qu'on ait, par exemple,

(3) jj5{x, y, z)-=. \\{ux + i-r + tv^),

u, r, (p désignant des coefficients constants, ou, ce qui revient au même,

(4) Gj(x,/, c) = II(ç), la valeur de ; 'étant

(5) ç — ux -+- r v 4- ir-r.

C'est en effet ce qui résulte des considérations suivantes.

2'i8 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

Il est clair que, pour vériiier l'équation (i), il suffira de prendre

S désignant une racine quelconque de l'équation

ou plus généralement

(7) ^ = A77-T77T7^7^T7TVTn=A

<-((F(«,r,iT',.9))) <^((F(«,r,<T',5-)))

6 désignant une fonction entière quelconque de w, v, w, s, et le signe r étant relatif à la variable auxiliaire s. Cela posé, concevons d'abord que l'équation (3) se réduise à

(8) w{cc, y, z) = Ge«^+^>'+"'-,

0 désignant un coefficient constant. Comme on aura, en supposant m <^ n — i ,

gin

^ ((F(«,r,.v,*))) "" ""' et, en remplaçant m par ji — \ ,

la valeur de cr, donnée par la formule (7), vérifiera évidemment l'équation (i) avec les conditions (2), si l'on y pose 6=0, c'est-à-dire si l'on prend

fj gtix+vy+wz+sl

^^^ ^ = <!^âFK7r7;7^)'

ou, ce qui revient au même,