CT
<-((F(«, r,iv',.-)))
On arriverait à la même conclusion en observant que la valeur de m donnée par la formule (7) vérifie l'équation différentielle
F(«, i-, iV, D^)G7 = o,
et, en intégrant cette équation différentielle par la méthode exposée dans le § P'", de manière à remplir, pour ^ = o, les conditions
Concevons maintenant qu'à la formule (8) on substitue celle-ci :
(u) GT(^, j-, ^) = ôe''("^+''>-+"'-^
h, 0 désignant deux coefficients constants. Alors, au lieu de la formule (9), on obtiendra la suivante
g\i{tix+vy+wz)-\-st
(12) CJ = i 6 77-,^;-, -. i TTT >
que l'on peut écrire comme il suit :
Si Y{x, y,z, t) devient une fonction homogène des variables a-, /, :■, t, on tirera de la formule (i3), en y posant s =^ hw,
le signe ^ étant relatif à la variable auxiliaire w. Pour faire disparaître, dans l'équation (i4)» 1<^ diviseur h"~', il suffira de différentier/? — i fois les deux membres par rapport à t. On trouvera ainsi
(i5) Wl-'r^^y j~-^^ Qe^^^'^+^t).
^ ' ' «^((t(</, r, iP, w)))
puis, en intégrant autant de fois et indiquant à l'aide de la caractéristique D^', ou D7', ou D7', ..., placée devant une fonction de /, le résultat d'une, de deux, de trois, ... intégrations successives effectuées par rapport à t, à partir de / = o, on tirera de la formule (i5)
(.6) ct^D;-^'/ '^"~' ^9eh(;+a>0.
«-'((Flw, (', »v, w)))
OF.uvres de C. — S. I, t. VI. 32
Supposons maintenant que, l'équation caractéristique étant homogène, la valeur initiale us{.x,y,z-) de D" ' cr soit donnée ])ar la formule (3) ou (4)
C7(^, y, z) = ]l{/t.v + vy + (t-^) =z n(ç).
La fonction II (.^•) pourra être décomposée en termes de la forme
le nombre de ces termes étant tini ou intini, et l'exposant h de jc- dans chaque terme pouvant être réel ou imaginaire, comme je l'ai fait voir dans le second Volume des Exercices de Mathémaiiques , p. i i 2 ' . On pourra donc supposer
le signe -i indiquant une somme relative aux diverses valeurs qu<* h et 6 peuvent acquérir, (xda posé, l'équation (4) donnera
et, comme la valeur de tn, correspondante à la valeur précédente de cî(,r, j, :;), sera nécessairement la somme des valeurs de tn qu'on obtiendrait en substituant successivement les diverses valeurs de h et de 0 dans le second membre de l'équation (iG), on tirera de cette équation
(iq) C7 = D/-"/ --^--"-"I^ — V5el.(ç4-a)0
ou, ce qui revient au même,
(20) Ts — \S)''' V --^--^ -— Il ( ç 4- a) 0.
Si l'équation caractéristique cessait d'être homogène, alors, de l'équation (12) combinée avec la formule de ?'ourier, ou |)lutùt avec la suivante
n ( a- ) = - - r r e'' ^•'~ ^ ' v'- ' II ( k ) (/h f/k . (i) Œuvres de Cauclijy S. Il, t. Vil.
on conclurait
(2 1) Gj=— / \ } —r- ^ 'd\\dk,
la valeur (le S étant
(22) ^ — F(1u/ \/— I, lie v/— I, hnV~" '> ■^)'
et le sienne y étant relatif à la variable auxiliaire s.
§ III. — Sur les fonctions principales dont les dérivées offrent des valeurs initiales qui dépendent seulement d'une fonction entière des variables indépendantes, homogène et du second degré.
J.es mêmes choses étant posées que clans le § H, concevons que la valeur initiale m[x,y,z) de D^' 'cr dépende d'une fonction entière de X, y, z, homogène et du second degré. Si, en supposant cette fonction toujours positive, on désigne par ^ sa racine carrée prise positivement, on aura
(I) ^(^•,j,.^) = ii(0 = n(-o.
la valeur de t étant par exemple de la forme
(2) i = (a^-^ + bj- -h cz- 4- 'i.ûyz + o.ezx + •j.ïxy)'^.
Or la valeur précédente de xs[x,y,z) pourra être transformée en une intégrale double, dont chaque élément, considéré comme fonction de r, j, s, dépende seulement d'un trinôme de la forme
ux -\- vy ■+■ wz.
Si, pour plus de simplicité, on prend
a = b = C = l, d:::::en=fr=0,
le radical x se réduira au rayon vecteur r déterminé par la formule ( 3 ) r — sjx^^y'^z^ .
D'ailleurs, si, en nommant f(r) une fonction quelconque de r, on pose
(4) « -— cos/j>, ('= sin/? COS7, wr=?,\np ?,\nq, et, de plus,
(5) Ç rr: «u; H- CJ 4- iV^,
on aura, on vertu d'une formule donnée par M. Poisson en 18 19,
Jx,2TÎ ^Tt Alt
' / Ç{ç)sinpdq dp= 2r. I ({ru)s\npdp,
puis on en conclura, en remplaçant f(/*) par f'(r),
(6) ^l^l-Ji^'l}. ^J^f f Ç'(ç)s\npdqdp.
Donc, si l'on pose
alors, en ayant égard à la condition
(8) n{r)=-n{-r), on trouvera
(9) "^''^ = "4^/ / l"(s)sin/^^7^/^-
On pourra donc considérer la valeur initiale !!(/•) de D" 'c? comme la somme d'un nombre infini de termes, dont chacun dépendra uniquement d'une fonction linéaire de ^, y, z, savoir, de la variable
La valeur de un correspondante à la somme de tous ces termes se déduira, si l'équation caractéristique devient homogène, de la formule (20) du paragraphe précédent; et, en vertu de cette formule,
EXTRAIT N° 13i. 253
jointe k l'équation (9), on aura, dans l'hypothèse admise,
(10) m=-j — / / J rj^. ~smpdr/dp.
le si^ne / étant relatif à la variahle auxiliaire w. Si d'ailleurs on a égard à la formule
on trouvera définitivement
(11) m = -f— / / i . ,~„- — - ,,- ^mpdq dp .
Si, l'équation caractéristique étant toujours homogène, la valeur initiale Ts(x,y,z) de D""'ct se trouvait représentée, non plus par n(r), mais par n(t), alors, à l'aide des formules établies dans le précédent Mémoire, on obtiendrait l'équation
^T^ Jo Jo ^ ((F( M, (',«',«))) Q^
la valeur de ^ étant
- z= (abc — ad- — be- — cf^ + adef )^
Dans le cas particulier où
se réduit à une fonction homogène de / et de x^ +/' + '■'^j alors devient indépendant de m, (^, w, puisque les formules (4) donnent
Donc alors, en vertu de l'équation (G), la formule (r r) donnera
/.Q^ „ni-«r ^>''"' (r + a)On(/- + wO + ('- — f'>On(/- — (oO (13) rn __ D, l ■Ç^YÏu7W^ir^)y) Vr
Pareillement, si
se réduisait à une fonction homogène de t et de i^, on tirerait de la formule (12), jointe à l'équation (26) du § I^'" du précédent Mémoire,
Si l'équation caractéristique cessait d'être homogène, alors, en substituant à la formule (20) du § II la formule (21) du même paragraphe, on obtiendrait pour valeur de la fonction principale tir, non plus une intégrale double, comme dans la formule (11) ou (12), mais une intégrale quadruple : par exemple, en supposant la valeur initiale cT(.r, y, ^) de Df 'nî représentée par
et faisant toujours, pour abréger,
on trouverait, au lieu de la formule (11), la valeur de s étant
(16) rS = F(1i « y/— I , Il (-• \/— 1 , 1) iv y/— I , s),
et le signe ^ étant relatif à la variable auxiliaire s.
Si ¥[.T, y, z-, t), sans être homogène, se réduisait à une fonction de t et de r, la valeur de s donnée par la formule (16) deviendrait indépendante de 11, r, w; et, comme on aurait, en vertu de l'équation (6),
siiili/-
(17) / / e^'-\'^^ sin p dfj dp =^ ^tl —.
EXTRAIT N" 134. 'ioo
la formule (i5) so trouverait réduite à la suivante :
I r" r" p sinh/- f'(k) ^,^, ., V. /-7 „ n
Celle-ci s'applique particulièrement à la propagation de la lumière dans les milieux isotropes, quand on tient compte de la dispersion.
§ IV. — Détermination générale de la fonction principale qui vérifie une équation caractéristique aux dérivées partielles.
Les mêmes choses étant posées que dans le § 11, si la valeur initiale gt(^, y,z) de D""'gî ])rend une forme quelconque, on pourra du moins la transformer en une intégrale triple dont chaque élément dépende d'une seule quantité représentée par une fonction de x,y, z, entière et du second degré. En effet, d'après une formule établie dans un précédent Mémoire, on aura
la valeur de p- étant
et la lettre £ désignant une quantité positive infiniment petite qui devra être définitivement réduite à zéro. Si, dans le cas où l'on considère A, a, V comme représentant des coordonnées rectangulaires, la fonction trr(>;, a, v) s'évanouit pour tout point (X, [x, v) renfermé dans l'intérieur d'un certain volume \'\ on pourra, dans la formule (i), supposer indilîéremment la triple intégration étendue, soit à tous les points de ce volume, soit à tous les points de l'espace, c'est-à-dire, à toutes les valeurs réelles de X, a, v.
Concevons maintenant que l'on se propose de calculer la fonction principale rrr. Cette fonction sera une somme d'éléments correspondants aux diverses valeurs initiales de D'/~'nT qui pourraient être représentées par les divers éléments de l'intégrale triple comprise dans le
second membre de la formule (i). On aura donc
( 3 ) rs3 = -^ I I j >iTn {l, [j., v) dl dix d-'j,
si l'on nomme « la valeur particulière de cr qui répondrait à une valeur initiale de D""'nT représentée par le rapport
Or, pour obtenir cette valeur particulière «, il suffira de recourir à l'une des formules (r i) ou (i5) du § III, en y remplaçant la fonction
par le rapport
ex
que l'on peut présenter à volonté sous l'une ou l'autre des formes 1 T) "^ 1 n ^
et en supposant ç déterminé, non plus par l'équation (5) du § III, mais par la suivante
(4) Ç — «(.-r — }.) + r (j/|jt) + „'{z — v),
attendu que, pour déduire p de r, il suffira de substituer ii x, y, z les différences
Eu opérant comme on vient de le dire et supposant d'abord l'équation caractéristique bomogène, on tirera de la formule (11) du § III
,27î ^TZ
ou, ce qui revient au même,
Dr"
et, par suite,
(7) "=-^.( ./„ lnu,.,..,.)-ix^'-^(ç+.tTV''i"''''''''
les valeurs de a, v, w étant toujours
(8) « = cos/^ r = sin/j cosr/, tr = sin/) sin/7,
et le si^ne 1^ étant relatif à la variable auxiliaire w.
Si, au eontraire, l'équation caractéristique cesse d'être homogène, on tirera de la formule (i 5) du § ÏII
la valeur de S étant
(10) ^=F(Iu/V— ', hv\/^^ï, lut'v/— i, s).
Si F(.^,.y, s,^) se réduisait à une fonction homogène des seules variables / Qtr=s/.x''^+Y--{-z'\ alors, en partant, non plus de la formule (11), mais de la formule (i3) du § IIÏ, on obtiendrait une valeur de H déterminée, non plus par l'équation (G), mais par la suivante :
(M) H=Dr"r
e^-i- {p — r,)ty s'^-h ip -+- f>^t)-
Concevons maintenant que, cette dernière valeur de a étant substituée dans la formule (3), on remplace les variables X, [x, v, considérées comme représentant des coordonnées rectangulaires, par des coordonnées polaires
en posant
(12) /, ;= J" H- ap,
(i3) x=.cosO,
La formule (3) deviemlra
s =r sin(> cos-,
v '-= z -+- yp, y z=i sinO sinr.
HT
2 71 Tt "^
dO dp,
CEuvrcs de C. — S. I, t. VI.
258 COMPTES KENDUS DE LACADÊMIE.
et, comme l'intégrale
se réduira, pour de très petites valeurs de £, ou à zéro, ou au produit
suivant que le second terme ±: ojt du binôme
p ± fj)t
sera positif ou négatif, on tirera de la formule (ii), jointe à l'équation ((4),
4Tr ' ,/, J„ <^((J(a,ê,y, (0)))
le signe pétant toujours relatif à la variable auxiliaire w. Nous avons pu ici substituer, sans inconvénient, la fonction F(a, ^j, y, to) à la fonction F(//, (', <r, oj), attendu que, dans l'bypothëse admise, la formule
a- 4- 6- -i- y- z=z u- + V- -h ir^ r=: I
entraîne l'équation
F(«, ('.. IV, w) r= F(a, S, y, o)) = F(i, o, o, ^j).
Lorsque F(.r,r, -, ^) est une fonction bomogène quelconque des variables -r, y, z, t, alors, en posant
(i6) COSo = «a 4- cS 4- (l'y,
on tire de la formule (4), jointe aux équations (12),
(17) 5r=— pcoso;
puis, en effectuant l'intégration relative à s, on tire des formules (6)
et(i4) ,^^ ^ L-l)3-« f ^ f"" f'"" r r ^"''' /-sin/JsinQCT(X,//,v) d(j dp dx dO
EXTRAIT N° 13'*. 2oî)
les valeurs de A, a, v étant données par les formules
On se trouvera donc ainsi ramené à l'intégrale quadruple à laquelle j'étais parvenu, par une marche toute différente, dans mes Leçons au Collège de France.
Enfin, lorsque l'équation caractéristique cesse d'être homogène, alors, en ayant égard aux formules
r ! e^^^i^'dk^ f — !-e-'''^v'~rfk=:r6'-^v'»^,
f f f /(ap, Sp,yp)p2 sin 5 ^Tâf9t/p
— 1 / I /(ap,£p,7p)p2siii^J^/T^/5 6^p,
et réduisant définitivement s à zéro, on tirera des formules (3) et (9)
On se trouve ainsi ramené à la formule (9) de la page 197 des Exercices d' Analyse et de Physique mathématique (' ).
Dans un autre Mémoire, je montrerai comment les formules que j<' viens d'établir fournissent les lois des phénomènes auxquelles se rapportent les systèmes d'équations linéaires, aux dérivées partielles, dans les questions de Physique mathématique.
(») OKm-rcs de Cauchv, S. II, T. XI.
Calcul intégral. — Note siw la transformation des sommes d'intégrales. C. R., T. XIII, p. 181 (aO juillcl 1841).
Soit donnée, entre doux variables x, t, une certaine équation (1) V{x,t) — o,
(jue je nommerai l'équation caractéristique. Soient d'ailleurs
les diverses racines de cette équation résolue par rapport à la variable ^, et
lu "c.., ...
les valeurs particulières de ces racines, correspondantes à une valeur donnée t de la variable t. Si l'on pose, pour abréger,
W{x,t) = \)iV{.r,t),
et si l'on désigne par f(r, /) une nouvelle fonction des variables x, t, on aura, comme je l'ai remarqué dans un précédent Mémoire,
ou, ce qui revient au même,
pourvu que chacune des variables x, t reste fonction continue de l'autre entre les limites de l'intégration. Dans le premier membre de la for-
(') Pour plus de simplicité, nous remplacerons désormais les doubles parenthèses du calcul des résidus par deux crochets trapézoïdaux. De plus, à la suite du dernier crochet, nous placerons la variable à laquelle se rapporte le signe ^T, ainsi que M. Blanchet l'a fait dans ses derniers Mémoires, en adoptant notre nouvelle notation.
EXTRAIT N° 13b. i*)!
mule (2) le signe \ indique une somme de termes relatifs aux diverses
racines de l'équation (i).
Si, dans la formule (2), on remplace la fonction f(.r, /) par le rapport
on trouvera
Si les diverses racines de l'équation (i) reprennent les mêmes valeurs pour les deux limites ^ et t de l'intégration relative à la variable /, en sorte ()u'on ait
(4) Xyz:! jr2-=z . , . et ci^^Ç2^=---)
on pourra, dans l'équation (3), faire passer le signe i sous le signe /". Si d'ailleurs l'équation (i) fournit le même nombre de racines, soit (ju'on la résolve par rapport à x, soit qu'on la résolve par rapport ;» /; si, par exemple, F(^,/) représente une fonction entière de r et de /, qui soit du même degré par rapportai et à t, l'équation (3) pourra s'écrire comme il suit :
On obtiendra donc alors la formule
dont le premier membre offre deux termes qui dilfèrent l'un de l'autre, en ce seul point, que l'opération appliquée dans l'un des deux ternws à la variable r se trouve appliquée dans l'autre à la variable /.
Au reste, pour (|ue la formule (5) ou (6) subsiste, il n'est pas absolument nécessaire que les conditions (4) se trouvent remplies. En effet, supposons que la fonction f{x, t) soit du nombre de celles qui s'évanouissent pour des valeurs de la variable ce situées liors de cer-
faines limites a? = «, x=-b\ supposons de plus chacune des quantités a, h renfermée : i" entre les limites ^^ et x^ ; 2" entre les limites E, et x.^, etc. Enfin concevons que toutes les différences
étant des quantités de même signe, le signe de chacnne d'elles soit encore celui de la différence h — a. La formule (3) pourra être réduite à
et par conséquent à
si le nombre des racines de l'équation caractéristique reste le même quand on la résout par rapport à ^ et quand on la résout par rapport à t. Or, la fonction ï(x,t) s'évanouissant dans l'hypothèse admise hors des limites a, h, il est clair que la formule (8) coïncidera exactement avec l'équation (3).
Des fonctions qui s'évanouissent toujours hors de certaines limites se rencontrent fréquemment dans les problèmes de Physique mathématique. On voit avec quelle facilité on peut établrr, pour ce genre de fonctions, la formule (8). C'est à cette circonstance que tient le succès de la méthode employée par M. Blanchet, dans un récent Mémoire, où il applique le calcul des résidus à la recherche d'une limite extérieure des ondes dont j'avais donné la limite intérieure en i83o.
En terminant cette Note, nous avons encore à faire une remarque importante. La formule (5) suppose que les valeurs de t en x, tirées de l'équation caractéristique, restent fonctions continues de la variable ^r entre les limites de cette variable représentées par E et x\ et que réciproquement les valeurs de x en t, tirées de l'équation caractéristique, restent fonctions continues de la variable /, entre les limites de cette variable représentées par t et /. C'est ce qui aura effectivement lieu si
la variable t est toujours croissante, ou bien toujours décroissante, tandis que l'autre variable passe de la limite ç à la limite x. Mais cette même condition n'est plus rigoureusement nécessaire à l'existence de la formule (8); et si, pour fixer les idées, on suppose
alors, pour que la formule (8) subsiste, il suffira évidemment que les diverses fonctions de x, propres à représenter les diverses racines de l'équation caractéristique, résolue par rapport à /, soient toujours croissantes et renfermées entre les limites t et t, tandis que l'on fera passer x, par degrés insensibles, de la limite « à la limite h. D'ailleurs, pour que ces racines croissent toujours dans l'intervalle dont il s'agit, il sera nécessaire et il suffira que les valeurs de D^^ tirées de l'équation caractéristique, c'est-à-dire, les valeurs du rapport
DxF(.r, O^
se réduisent, pour une valeur quelconque de x comprise entre a el h, à une quantité affectée du même signe que la différence h ~ a.
Physique mathématique. — Mémoire sur la surface caractéristique correspondante à un système d'équations linéaires aux dérii^ées partielles, cl sur la surface des ondes.
