DT

Lorsque dans la formule (i j) on substitue la valeur de ç tirée de l'équation {()), on obtient la suivante

qui représente, quand on \ considère^,/, - comme variables, un plan perpendiculaire à la droite dont la direction est déterminée par les angles polaires p, q. Si, en attribuant au paramètre s une valeur constante, on attribue successivement aux angles/?, q des valeurs diverses, le plan dont il s'agit prendra successivement diverses fiositions dans l'espace, de manière à toucher constamment une certaine surface LMN. Pour obtenir l'équation de cette même surface, que nous représenterons par

(16) -TV,J-, .., /,.v)r=0,

il suffira d'éliminer s entre l'équation (i 5) et ses dérivées relatives aux angles/7, q, dontu, v, tv, w sont des fonctions en vertu des formules (>) et (9). Donc, en considérant s comme une fonction de /?, g, déterminée par la formule (i5), jl suffira d'éliminer/?, q entre cette formule et les doux suivantes :

Si, s étant réduit à zéro, l'on écrit pour abréger ^[x,y\ z, t.) au lieu de ri[x,y,z,t,o), l'équation (16), réduite ii la forme

sera celle de la surface que nous avons appelée surface des ondes, et qui est constamment touchée par le plan dont l'équation est

( I g ) UX -\- Vy -^ \VZ=:. (,)t.

D'ailleurs si, dans la formule (16), on attribue successivement à^ deux valeurs égales au signe près, mais affectées de signes contraires, par exemple, .ç = — £, et ^ = s, les doux équations ainsi obtenues, savoir,

représenteront les deux enveloppes intérieure et extérieure d'unie onde qui offrirait l'épaisseur constante 11, et qui serait engendrée par une sphère d'un rayon égal à s, le centre de la sphère étant assujetti à parcourir la surface des ondes représentée par la formule (18). Observons encore : i^ que les équations (17) réunies représenteront une droite normale à la surfiicc des ondes ainsi qu'aux enveloppes extérieure et intérieure de l'onde dont nous venons de parler; 2° que la première des équations (17), réunie à l'équation (i5), représentera une droite tangente à la surface LMN et parallèle au plan des js; 3° que la seconde des équations (17), réunie à l'équation (i5), représentera une droite tangente à la surface LMN et en même temps comprise dans le plan normal perpendiculaire au plan desyz.

A l'aide des remarques que nous venons de faire, et des théorèmes établis dans la première Partie de ce Mémoire, on parviendra aisément

à la valeur de l'intégrale double

(21) / / ;ri ^— ^-: sin « dq dp

comprise dans le second membre de la formule (12), par conséquent à la valeur de la fonction principale gt, et aux lois des mouvements représentés par une équation caractéristique bomogène, si la valeur initiale de D" 'cT s'évanouit au dehors de la sphère qui a pour centre l'origine et pour rayon une longueur infiniment petite £; c'est-à-dire, en d'autres termes, si la fonction paire de s représentée par II(^) s'évanouit hors des limites

Ainsi, par exemple, en considérant £ comme une quantité infiniment petite du premier ordre, et supposant d'abord le point (^, j, -) situé, au bout du temps t, hors de l'onde comprise entre les surfaces représentées par les équations (20), on reconnaîtra que la valeur de Q, déterminée par la formule (i3), se réduit généralement à une quantité infiniment petite du troisième ordre. On devra seulement excepter le cas où l'angle q acquerra une valeur telle que la première des équations (17) soit sensiblement vérifiée, c'est-à-dire, une valeur telle qu'une tangente menée à la surface des ondes, parallèlement au plan des y, z, et par le point {x,y, z), vienne toucher cette surface en un point où la direction de la normale corresponde sensiblement à cette même valeur de q. On en conclura que, dans l'hypothèse admise, et quand le point (x,Y,z) sera situé hors de l'onde infiniment mince, comprise entre les surfaces représentées par l'équation (20), l'intégrale

Qdq,

et par suite la partie de la fonction principale o correspondante à cette intégrale, ou, ce qui revient au même, à l'intégrale (21), se réduiront simplement à zéro, ou du moins à des quantités infiniment petites du troisième ordre. D'ailleurs il est aisé de s'assurer qu'il n'en sera plus

EXTRAIT N" l't3. 303

ainsi quand le point {.x,y,z) sera compris entre les surfaces représentées par les équations (20), et qu'alors l'intégrale (21) deviendra seulement, avec le carré de s, une quantité infiniment petite du deuxième ordre. On se trouvera donc ramené par les considérations précédentes aux conclusions énoncées dans le préambule du présent Mémoire.

Au reste, ces considérations seront développées dans les paragraphes suivants, qui renfermeront en outre la détermination de l'intégrale ( 21 ), et par suite la détermination de la fonction principale tir, non seulement dans le cas où la valeur initiale de D^^'trr ne diffère de zéro que pour les points situés dans l'intérieur d'une sphère infiniment petite, mais enco.re dans le cas général où cette condition n'est pas remplie, et où la valeur initiale de D^'"'crr se trouve représentée, entre certaines limites finies, par une fonction connue rar(.r,j, z) des trois coordonnées X, y, Z-.

('alcul intégral. — Sur la réduction nouvelle de la fonction principale qui vérifie une équation caractéiistique homogène, et sur les conséquences qu'entraîne cette réduction.