C. a., T. XIII, p. 455, 3o août
DEUXIÈME PARTIE. — DÉTERMINATION DE LA FONCTION PRINCIPALE CORRESPONDANTE A UNE ÉQUATION CARACTÉRISTIQUE HOMOGÈNE.
§ II, — Sections infiniment petites faites dans la surface des ondes et dans la surface caractéristique par les plans correspondants.
Les mêmes choses étant posées que dans le § P', considérons, au bout du temps t, deux points correspondants
situés, le premier, sur la surface caractéristique, le second, sur la surface des ondes; et soient
30i COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.
les coordonnées rectangulaires du premier point,
celles du second. Non seulement ces coordonnées vérifieront respectivement les équations des deux surfaces, savoir
mais, de plus, si l'on pose, pour abréger,
on aura encore (twla page 267)
( 3 ) x.r -f- yj- -t- z ; M- i- = o
et
^-^' D.S^DyS D,S'
^^^ D^ ^' IV ~' î^^^"
Si d'ailleurs, comme il arrive ordinairement dans les problèmes de Mécanique, Y{x,y, z, t) est une fonction entière de /-, on aura
F(x,v, z, 0 = F(x,y,z,-0 = F(- X, -y, - z, 0=^F(-x, -y, - z, - t), et, par suite,
Donc alors toute droite menée par l'origine 0 des coordonnées sera un diamètre de la surface caractéristique et de la surface des ondes, et ces deux surfaces auront pour centre commun l'origine elle-même. Soient maintenant
les deux rayons vecteurs OC, OD menés de l'origine aux points corres-
EXTRAIT X° l'*3. 305
pondants C, D ; et o l'angle compris entre les rayons vecteurs. On aura
(7) \x- -^ yy -+- zz =zrrcosd,
et de l'équation (2), réduite à
(8) r/cosa=— /-,
on conclura que 0 est un angle obtus. Mais, si le point D, situé sur la surface des ondes à l'extrémité d'un certain diamètre, est transporté à l'autre extrémité de ce même diamètre, les coordonnées
changeront de signes, c'est-à-dire que l'on devra remplacer
^, y, z par — ^, — .r, — -•
Or, après ce changement de signe, qui n'altérera point les formules (2), (^), (5), la formule (3) se trouvera remplacée par la suivante
(9) \jr -hyy -\-zz=. t-;
et alors, comme on se trouvera conduit, non plus à l'équation (7), mais à celle-ci
(10) ■ r/cosô^=/-,
les points correspondants G, D de la surface caractéristique et de la surface des ondes seront évidemment situés de manière que l'angle 0, compris entre les rayons vecteurs OC, OD, se réduise à un angle aigu. Nommons à présent p, q les angles polaires qui déterminent la direction de la normale menée par le point D à la surface des ondes, cette normale étant prolongée dans un sens tel qu'elle forme avec le prolongement du rayon vecteur r un angle aigu; et faisons
(11) « = cos/>, ( --= sin/? COS7, tv i::z sin/^siru/. Le cosinus de l'angle aigu dont il s'agit sera
Il X + \' y -\- ^r z
OEuvres de C. — S. I, t. VI. Sq
et, par suite, le trinôme
sera une quantité positive. Si d'ailleurs on pose, pour abréger,
(.3) R = [(D.S)^ + (DySr-i- (D.SriS
(i4)- A=[(D,sr+(D^-S)^+(D,-S)^P,
on aura
et, de la formule (i.)) eombinéc avec l'équation (5), on tirera
If V (V I
On devra même, dans la dernière formule, réduire le double signe au signe -f-, attendu que, les trois rapports
H (' lï' '
\ y z étant égaux, cbacun d'eux sera encore égal à la fraction
« .r + r r + w z ux -\- w -\- "' ^
■ nr ^; ?
\x ■+- Yf -+- 7.Z r /• ces 0
dont les deux termes seront positifs. On aura donc
iV UX +('>' + wz
"" z ~ r /• cos (5 ~^
et, par suite,
a X -4- i- V 4- iv z
Le premier membre de la formule (17) étant précisément l'expression (12), il en résulte que l'angle aigu 0, compris entre, les rayons vecteurs correspondants r, r, est en même temps l'angle aigu compris entre le rayon vecteur r, ou 01), et la normale menée par le point D à
la surface des ondes. Au reste, cette conclusion pouvait être facilement prévue, puisqu'on vertu d'un théorème énoncé dans un précédent Mémoire {voirie théorème III de la page 265), le plan tangent au point D à la surface des ondes sera perpendiculaire au rayon vecteur r. On tire de la formule (i6)
(i8) \ = ui', y = rr,
Z =: (vr.
Si l'on substitue ces valeurs de x, y, z dans l'équation caractéristique
elle donnera
¥{ur, rr, (vr, t) =o,
ou, ce qui revient au même,
ffw, (', (r, - j = o;
et, par suite,
ou . •
(0 désignant une racine positive de l'équation
Or, en vertu des formules (18), ([9), l'équation (9) deviendra
Celte dernière, lorsqu'on y considère x, y, z comme variables, représente évidemment un plan qui, passant par le point D, coupe à angles droits la normale menée par ce point à la surface des ondes. Ce plan est donc précisément le plan tangent à la surface des ondes. Donc les coordonnées oc, y, z du point D vérifieront, non seulement l'équation (21), mais encore ses dérivées relatives aux angles p, q\ ou, ce
(|ui revient au même, eu égard à la condition
à laquelle sont assujettis u, v, w, elles vérifieront la formule
