COS
Telle sera l'équation à l'aide de laquelle on pourra déterminer cos^
en fonction de u, r, w, ou, ce qui revient au même, en fonction des
angles p, q.
Passons maintenant du point D, ou [x, r, :;), situé sur la surface des
ondes, au point C, ou (x, y, z), situé sur la surface caractéristique ; et
nommons
ce que deviennent dans ce passage les trois quantités u, r, w. 11 est clair qu'à la place des formules (i5), (16), (17) et (18) on obtiendra les suivantes
^^ ^ dIs^dTs^d^s ïî'
et
u V w u X 4- V y 4- vvz i
^ ^' X j ~ ^ r/-coso /•'
. ux + vy + wz
(28) —coso,
(29) x — wv, y—'^r, z = \\r.
La formule (28) montre que l'angle aigu 0, compris entre les rayons vecteurs r, r, est en même temps l'angle aigu compris entre le rayon vecteur r ou OC et la normale menée par le point G à la surface caractéristique. Cette conclusion pourrait encore se déduire du théorème III de la page 265.
Concevons à présent qu'aux points correspondants
C et J)
on substitue deux autres points correspondants
G et H
situés, le premier sur la surface caractéristique tout près du point C, le second sur la surface des ondes tout près du point D. Soient d'ailleurs
les coordonnées du point G, et
les coordonnées du point H, Les formules (i), (2), (3), {\) et (5) continueront de subsister quand on y remplacera ^, j, :■ par r , v^, z^, et X, y, z par x^, y , z, c'est-à-dire, en d'autres termes, quand on attribuera aux variables
les accroissements très petits
Or, si l'on développe, suivant les puissances ascendantes de ces accrois-
sements, les variations que subiront les quantités
S, J),S, DjS, D,S,
et si, dans les développements obtenus, on néglige les infiniment petits d'un ordre supérieur au second, alors on tirera de l'équation (i)
( (X, - x)D,S 4- (y, - y)DyS + {z, - /^D.S (3o) <
et la formule (4), que l'on peut écrire comme il suit
entraînera cette autre formule
Enfin l'on tirera de la formule (9)
(33) x^^/ -t-y^j, -t- z^c^ = xo; + yy -4-z:;.
Soit maintenant s la distance du point H au plan tangent mené par le point D à la surface des ondes, ou, ce qui revient au même, la projection de la distance DH sur la normale menée par le point D à cette surface ; on aura
Pareillement, si l'on nomme s la distance du point G au plan tangent mené par le point Cala surface caractéristique, on aura
(35) sr=u(x — xj -+-v(y — y,) + w(z— zj;
EXTRAIT ^o U3. 311
et (les formules (34), (3.5) on tirera, eu égard aux équations (i8j et (29),
(36) r.v — /-s =r x^^ + y/7 + z,:; — x.r^ — y/^ — zz,.
Cela posé, imaginons que l'on ajoute d'une part les numérateurs, d'autre part les dénominateurs des trois fractions comprises dans la formule (32), après les avoir respectivement multipliés par les facteurs
alors, eu égard aux équations (3o), (3i), (33) et (36), on obtiendra pour résultat la fraction
^ r.v — AS R
(jui devra être égale à chacune des trois autres, et par conséquent très petite en même temps que les différences
Donc, la valeur de R étant généralement différente de zéro, le rapport
rs — rs
devra lui-même être petit. 3Iais, eu égard aux formules ^33), (18) et (34), on aura
■=x{jc — a;,) + y {y — /,) + z{z — z^)
= [«(.r— xj + r{r—v,) + n'{z — z,)] r ~= r.v.
Donc le rapport (38) se réduira simplement à
et, pour que ce rapport soit très petit, il faudra que l'on ait sensiblement
ou, ce qui revient au même,
En vertu de cette dernière équation, la distance s du point G au plan tangent, mené par le point C à la surface caractéristique, dépend uniquement du rapport - et de la distance s du point H au plan tangent
mené par le point D à la surface des ondes. Donc, si le point H, très rapproché du point D, varie sur la surface des ondes en restant toujours à la même distance du plan qui la touche en D, le point correspondant G variera sur la surface caractéristique de manière à rester toujours à la même distance du plan tangent qui la touche en C. Donc, si l'on nomme H, H', H", ... les diverses positions que prendra successivement le point D sur la surface des ondes, et G, G', G", ... les positions correspondantes du point G sur la surface caractéristique, les deux courbes
UH'H... et GG'G". ..,
tracées sur les deux surfaces, seront les contours de deux sections planes et très petites, faites dans les deux surfaces par des plans correspondants qui seront parallèles aux deux plans tangents menés par les points D et C.
Comme nous l'avons remarqué dans les préliminaires, si, après avoir mené à une surface courbe, en un point donné, un plan tangent qui ne la traverse pas, on coupe cette surface par un second plan parallèle au premier, et séparé de celui-ci par une très petite distance s, l'aire de la section ainsi obtenue sera sensiblement proportionnelle à s. On peut même observer qu'elle sera sensiblement égale au produit de s par la circonférence d'un cercle qui aurait pour rayon la moyenne géométrique entre les rayons de plus grande et de moindre courbure de la surface au point donné. Cette moyenne géométrique est ce que nous appellerons le rayon de moyenne courbure. Supposons en particulier que l'on détermine les rayons de moyenne courbure pour le point D de la surface des ondes, et pour le point correspondant C de la surface caractéristique. Si, le temps avenant à varier, le point D se meut sur
une certaine droite OD menée par l'origine 0, le point C se mouvra
lui-même sur une droite correspondante OC; et, non seulement les
coordonnées
des points D et C varieront proportionnellement à t, mais on pourra encore en dire autant des rayons de moyenne courbure des deux surfaces en ces deux points, attendu que les deux surfaces, représentées par les équations homogènes (i) et (2), resteront toujours, comme on sait, semblables à elles-mêmes. D'alleurs, les rayons vecteurs
mesurés constamment dans les mémos directions OD, OC, croîtront aussi proportionnellement au temps. Donc les rayons de moyenne courbure des deux surftices aux points D et C croîtront dans le même rapport que les rayons vecteurs
et pourront être représentés le premier par kr, le second par kr, les
coeflicients
étant déterminés pour chaque direction du rayon vecteur /•, ou r. Il est en effet aisé de s'assurer que les coefficients k, k seront seulement fonctions des rapports
OU, ce qui revient au même, des rapports
Les trois derniers rapports se réduisant précisément aux trois quantités ci-dessus représentées par
on peut dire encore que les deux coeflicients k, k se réduiront toujours à des fonctions déterminées de 11, r, n . D'ailleurs, les rayons de cour-
OE livres de C. — S. l, t. M. 4o
314 COMPTES REiNDUS DE L'ACADÉMIE.
hure moyenne qui correspondront aux points D et C étant représentés
par les produits
kr et kr,
si parées points on niène : i" deux plans tangents, l'un à la surface des ondes, l'autre à la surface caractéristique; 2« des plans sécants, parallèles aux plans tangents, et séparés de ceux-ci par la très petite
distance
s ou s,
les deux aires des deux sections obtenues
llllir. .., GG'C. ..
se trouveront sensiblement représentées par les produits
(4i) -iTzkrs, -îTîkrs.
('oncevons maintenant qu'à l'aide de rayons vecteurs menés des points H, H', H", . . ., ou G, G', G", ... à l'origine des coordonnées, on |)rojette les deux aires dont il s'agit : i" sur les surfaces des sphères (jui ont cette origine pour centre et pour rayons les rayons vecteurs r et r; 2" sur la surface de la sphère qui a pour centre l'origine et pour rayon l'unité. Puisque les rayons vecteurs /• et r, qui aboutissent aux points D et C, forment, en ces mêmes^ points, des angles égaux à 0 avec les normales menées à la surface des ondes ou à la surface caractéristique, les projections des aires
.mkrs, '.îTrkrs,
sur les surfaces sphériques dont les rayons sont r et r, se réduiront évidemment aux deux produits
(42) ir.krs ç,os6, r».7:krs coso.
Ajoutons qu'il suffira de diviser ces produits par les carrés de /• et de r, pour obtenir les projections des mêmes aires sur la surface sphérique dont le rayon est l'unité. Ces dernières projections seront donc
(43) •îtt/.-cgso, aTrk-coso;
EXTRAIT N» UV. 315
et, eji égard à la formule (3()), la seconde pourra être réduite ii
(44) 27rk^coso;
en sorte que, pour l'obtenir, il suftira de remplacer dans la première
le facteur >(• par le facteur k. On peut remarquer d'ailleurs que chacun
des facteurs
représente précisément ce que deviendrait le rayon de moyenne courhure de la surface des ondes ou de la surface caractéristique, correspondant au point D ou C, si, les dimensions de ces surfaces venant à décroître, le point D ou C se rapprochait de l'origine des coordonnées, en restant toujours situé sur la même droite OD ou OC, de manière que la distance OD ou OC se trouvât réduite à l'unité.
Cai-CUF. intégual. — Sur la réduction nouvelle de la fonction principale tpd vérifie une équation caractéristique homogène.
