C. I{.. t. Xril. |). 487 (f) septembre t8}i

UEIXIÈME PARTIE. — DÉTERMINATION DE LA FONCTION PRINCIPALE CORRESPONDANTE A UNE ÉQUATION CARACTÉRISTIQUE HOMOr.fc.NE.

§ ni. — Propagation des ondes dont iépaisseitr est lies petite.

(Concevons toujours que, x, y, 3 étant trois coordonnées rectangulaires, la fonction principale itt doive vérifier, quel que soit le temps t, l'équation caractéristique homogène

et, |)our t = o, les formules

dans lesquelles n désigne le degré de la fonction entière F(^, y, z, t), et

la distance du point (r, y, 3) à l'origine des coordonnées. Si d'ailleurs on suppose que, dans la fonction F(,r, y, :;, t), le coefficient de /" se réduise à l'unité, et si l'on considère, ce qui est permis, II (^) comme une fonction paire de .v, propre à vérifier la condition

on trouvera

(4) CT— -^ — / / i r^ '^r- sm p dq dp

et, par suite,

(5) ■ ï)'r'-r^=~ r /"£rrr"""'"^'V ^^^^Pdqdp,

les valeurs de

//, r, iv, 0), s

étant déterminées par le système des formules

(6) i/=zcosp, ('=: sin/jcos^, a'=z sinp s'inq,

(7) F(«, r, ir, w) = o,

(8) Sz=z u.v -h Vf -\- wz -i- Mt,

dont la dernière peut être remplacée par les deux suivantes :

(10) ç= ux -h i>y + wz.

Il est bon d'observer que l'intégrale double, comprise dans le second membre de la formule (5), se compose de divers termes relatifs aux diverses racines de l'équation (7), et par conséquent aux diverses nappes de la surface caractéristique représentée par l'équation

A ces diverses nappes correspondent aussi diverses nappes de la sur-

EXTRAIT N° lU. 317

faco des ondes dont l'équation

est produite par l'élimination de entre la formule (7) et les suivantes :

(•3) UJC -+- Vf -Jr iVZ ^ rj)tz=zO,

D„co D^c) D,vO)

D'ailleurs l'équation (j3) est celle d'un plan qui touche la surface des ondes en un point où la direction de la normale est déterminée par les angles polaires p, q.

Lorsque l'équation (7), comme nous le supposerons ici, a toutes ses racines réelles, il est facile de voir ce que représente l'intégrale double comprise dans le second membre de la formule (5). En effet, concevons que l'origine 0 des coordonnées devienne le centre d'une sphère dont- le rayon soit l'unité. Les angles p, q étant censés représenter des coordonnées polaires liées di x,y, z par les formules connues

.x = rcosp, y=rsinpcosq, - = /siiiyo siii^.

à chaque point 1 de la surface de la sphère correspondront des valeurs déterminées de/?, q; et le produit

sin/j dp d(j

pourra être censé représenter un élément infiniment petit de la surface sphérique, dans lequel le point I soit renfermé. Nommons 0 cet élément, et 0 la partie du résidu intégral

«-^(F(m,(', tv, w))« (jui correspond, non seulement aux coordonnées polaires />,«7 du point I,

mais encore à une racine déterminée de l'équation (7). On aura

/''" r f X^^-r^ sin/> dq dp = ise, la valeur de 6 étant généralement

et, par suite,

la sommation que le signe ^ indique s'étendant, non seulement aux diverses valeurs de 0, mais encore aux diverses valeurs positives ou négatives de o) considéré comme racine de l'équation (7), c'est-à-dire aux diverses nappes de la surface des ondes, et la valeur de ^ étant toujours donnée parla formule (8). D'ailleurs, la valeur de D'/~"g7, déterminée, soit par la formule (5), soit par la formule (i5), variera ainsi que s, non seulement avec le temps t, mais aussi avec la position du point A dont les coordonnées rectangulaires sont représentées parr, j, z. Parmi les divers éléments

de la surface sphérique, il importe de rechercher ceux qui répondent à une même valeur de s. Or, lorsque, dans l'équation (8), on considère s comme constante, et oo, y, z comme variables, cette équation représente un plan perpendiculaire au rayon vecteur 01 dont la direction est déterminée par les angles polaires /^ q. Si ces angles viennent à varier, la valeur de s demeurant constante, ce plan changera de position dans l'espace, de manière à toucher constamment une certaine surface LMN. Soit

l'équation de cette surface. Si l'on pose .9 = 0, la formule (iG) se réduira simplement à l'équation (12) ([ui représente la surface des

EXTRAIT N" liV. 319

ondes, et les deux surfaces représeutées par les deux équations

(17) ff{x, y, z, t, —s) = o, .i{.v, y, z, l, s) = o

seront précisément les enveloppes intérieure et extérieure de l'espace traversé par une sphère mobile dont le rayon serait représenté par la valeur numérique de s, et dont le centre se promènerait sur la surface des ondes. Ajoutons que l'équation (8), quand on y considérera a\ y, z comme variables, sera précisément celle d'un plan perpendiculaire au rayon vecteur 01 et tangent à la surface LMN représentée par l'écjuation (16). Soit T le point de contact de cette surface et du plan dont il s'agit. La parallèle menée par le point T au rayon 01 sera normale, non seulement à la surface LMN, mais aussi à la surface des ondes qu'elle rencontrera en un certain point D; et la distance TD sera précisément la valeur numérique de s. Cela posé, pour obtenir, au bout du temps t, les diverses positions du point T correspondantes à des

valeurs données de

jr, y, z et .v,

il faudra évidemment circonscrire à la surface LMN un cône qui ait poiii* sommet le point donné A dont les coordonnées sont x, y, z. Le point T pourra être l'un quelconque de ceux qui appartiendront à la courbe de contact

de la surface LMN avec la surface conique circonscrite. Si d'ailleurs on mène : 1° par les divers points

des normales à la surface L>L\; 2" par l'origine des coordonnées, des ravons vecteurs

01, or, OF, ...

parallèles à ces normales, les points

situés sur ces rayons vecteurs à l'unité de dislance de l'origine, indi-

queront, sur la surface sphérique qui a pour rayon l'unité, les éléments

correspondants à la valeur donnée de s.

Lorsque la fonction Y{x,f,z,t), comme il arrive d'ordinaire dans les problèmes de Mécanique, et comme nous le supposerons dans ce qui va suivre, est une fonction paire de t, c'est-à-dire une fonction entière de /^ l'équation (7), résolue par rapport à w, fournit des racines deux à deux égales, au signe près, mais affectées de signes contraires. Alors la surface des ondes et la surface caractéristique ont pour centre commun l'origine des coordonnées. Alors aussi 6 reprend la même valeur sans changer de signe, quand on remplace

II, c, ir, 0)

par

— II, — r, —w, — w;

et en conséquence la somme 2î^60, que renferme la valeur de D"~^c:r, se compose d'éléments qui, pris deux à deux, sont égaux et affectés du même signe. Donc alors on pourra se borner à calculer ceux de. ces éléments qui correspondront à des valeurs positives du trinôme