IIX -\- i'V + wz

c'est-à-dire à des valeurs de u, ^', w propres à vérifier la condition

(18) «.r + cj-h (r^ >o,

sauf à doubler ensuite la somme obtenue; et, si l'on nomme (C la partie de xs relative à une racine déterminée de l'équation (7), on pourra supposer

pourvu que la sommation indiquée par le signe 2 cesse d'embrasser diverses valeurs de w, et s'étende, non plus à tous les éléments 0, 0', 0", ... de la surface sphérique, mais seulement à ceux qui correspon-

EXTRAIT N» 14i. 321

dront à des valeurs de p et de q pour lesquelles la condition (i8) se trouvera vérifiée.

Supposons maintenant que la valeur initiale de D';"'g3 soit seulement sensible dans l'intérieur d'une sphère très petite dont le rayon soit s, le centre de cette sphère étant l'origine des coordonnées. En d'autres termes, supposons que la fonction paire de s, représentée par ri(^), s'évanouisse hors des limites

£ désignant un nombre très petit. Alors, dans la somme

IQô,

que renferme l'équation (19), on pourra tenir seulement compte de ceux des éléments G, 0', 6", ... qui répondront à des valeurs de s renfermées entre les limites très resserrées

et cette circonstance permettra, en général, de calculer aisément cette somme, comme nous allons le faire voir.

Si'dans l'équation (16) on pose successivement

on obtiendra les deux équations

qui seront semblables aux formules (17), et qui représenteront les enveloppes intérieure et extérieure d'une certaine onde dont l'épaisseur sera 2£. Cette onde sera précisément celle qu'engendre une surface sphérique dont le centre se promène sur la surface des ondes, et dont le rayon est l'unité. Cela posé, il est clair que, dans l'hypothèse admise, on pourra tenir seulement compte de ceux des éléments 0 pour lesquels le point, ci-dessus désigné par la lettre T, se trouvera renfermé dans l'épaisseur de l'onde. Pour plus de simplicité, nous commencerons par supposer que le plan tangent, mené à une nappe quelconque

OEuv/es </<■ ('. — S . I , t . V I . ^ ,

de la surface des ondes par un point quelconque de cette surface, ne la traverse pas. Alors, dans le calcul de la somme 260, que renferme l'équation (19), et qui se rapporte à une nappe déterminée de la surface des ondes, on pourra distinguer trois cas différents, suivant que le point A, dont les coordonnées sont représentées par œ,y, z, se trouvera lui-même renfermé dans l'épaisseur de l'onde, ou compris dans son enveloppe intérieure, ou situé hors de son enveloppe extérieure.

Or, si l'on suppose d'abord le point A compris dans l'enveloppe intérieure de l'onde dont l'épaisseur est ie, ce point ne pourra devenir le sommet d'uii cône circonscrit à la surface LMN, pour des valeurs de .v comprises entre les limites — £, £. Donc alors tous les éléments de la somme ]^6Ô s'évanouiront, et l'on pourra en dire autant de la somme elle-même.

Supposons en second lieu que le point A se trouve renfermé dans l'épaisseur de l'onde comprise entre les surfaces que représentent les formules (20), c'est-à-dire entre les deux enveloppes de l'onde, ou même situé hors de l'enveloppe extérieure, mais très rapproché de cette enveloppe. Soit d'ailleurs 0 la distance du point A à la surface des ondes représentée par la formule (12). La courbe de contact

de la surface LMN, représentée par l'équation (iG), avec le cône qui. ayant pour sommet le point A, sera circonscrit à cette surface, conservera de très petites dimensions, pour toutes les valeurs de s comprises entre les limites —£,£,...; et cette courbe, qui se réduira simplement au point A si l'on prend

acquerra généralement la plus grande étendue possible quand on posera

Désignons maintenant par IK l'aire comprise sur la surface LMN dans

l'intérieur de la courbe

TÏT". ..,

et par K l'aire mesurée dans l'intérieur de la courbe correspondante

sur la surface de la sphère qui a pour rayon l'unité, en sorte que I, I', 1", . . . représentent, sur la surface sphérique, les extrémités de rayons vecteurs 01, 01', 01", ..., respectivement parallèles aux normales menées par les points T, T', T", ... à la surface LMN. En vertu des principes établis dans les précédentes séances, on aura sensiblement

(2i) K = 2rk^— -coso,

pourvu que, en attribuant aux angles polaires/?, q les valeurs qui déterminent la direction de la normale menée à la surface des ondes par le point D où cette surflice coupe le rayon vecteur OA, on nomme k le rayon de moyenne courbure de la surface caractéristique à l'extrémité d'un rayon vecteur parallèle à cette normale et réduit à l'unité. Quant à la lettre o, elle représentera simplement, dans la formule (21), l'angle aigu formé au point D par la normale à la surface des ondes avec le rayon vecteur OA, de sorte que, en supposant remplie la condition (18), on a'ura

(22) COSÔ:=: ■ .

D'autre part, si, en supposant la valeur de T déterminée par la formule (19), on nomme P la somme de ceux des éléments de â' qui répondent à des valeurs des angles p, q propres à représenter les coordonnées polaires de points situés dans l'intérieur de la courbe II'I". . . sur la sphère dont le rayon est l'unité, la valeur de P sera évidemment déterminée, non plus par la formule (19), mais par la suivante

ou, ce qui revient au même, eu égard à la formule (21),

r^-3) D,P = -— 0COSÔ;

et comme P devra s'évanouir avec K, pour s = p, on tirera de la formule (23)

P=- f —Scosèds.

Pour déduire de cette dernière équation la valeur de P, il suffira d'y poser s = ~ z. On aura donc

cosâ ds;

puis, en remettant pour 6 sa valeur, et faisant passer hors du signe / tous les facteurs distincts de s et de II (^), c'est-à-dire tous les facteurs qui resteront sensiblement constants entre les limites s = — i, s = p, on trouvera définitivement

(25) à^:^-,, „,'^" ' .— COSô/ sn{s)ds.

Il est important d'observer que, dans la formule (2^), la quantité p, ou la distance du point A à la surface des ondes, est précisément ce que devient la valeur de s donnée par l'équation (8) ou (9), quand on prend pour .^, j, - les coordonnées du point A. Ajoutons que si l'on considère les quantités p et s comme infiniment petites du premier ordre, la valeur de ^S, donnée par la formule (23), sera généralement du même ordre que le produit de 11(5) par l'intégrale

s as rrr - ( 0- 2 '

qui est elle-même une quantité infiniment petite du second ordre.

Lorsque le point A est situé au bout de temps / sur l'enveloppe extérieure de l'onde dont l'épaisseur est 2c, ou en dehors de cette enveloppe, on a

et, dans l'un ou l'autre cas, l'intégrale que renferme la formule (2$) se réduit à

r sU{s)ds,

EXTRAIT N° IW. 325

c'est-à-dire à zéro, attendu que n(^) est une fonction paire de s. Donc, lorsque le point A, étant très voisin de la surface des ondes, reste extérieur à l'onde dont l'épaisseur est 2£, la quantité (P, ou plutôt sa valeur approchée, s'évanouit; c'est-à-dire que $ acquiert alors, ou une valeur réelle ou une valeur nulle, ou du moins une valeur infiniment petite d'un ordre supérieur à celle qu'il acquerrait dans le cas contraire. Au reste, on peut arriver directement à la môme conclusion, non seulement pour un point très voisin de l'enveloppe extérieure de l'onde, mais encore pour tout point qui ne se trouve pas compris dans l'épaisseur de cette onde, en substituant, dans le second membre de la formule (5), ^ considéré comme variable à la variable /j, et déterminant alors la valeur approchée de ^S à l'aide des principes exposés dans les divers paragraphes de ce Mémoire. Il y a plus, la conclusion dont il s'agit se trouve alors établie, quelle que soit la forme de la surface des ondes, et dans le cas môme où les plans tangents, menés en certains points à cette surface, la traverseraient. Donc il ne sera jamais nécessaire de calculer la valeur de $ que dans le cas où le point A sera l'un des points appartenant à l'onde dont nous avons parlé. Si d'ailleurs le plan tangent à la surface des ondes ne la traverse pas dans le voisinage du point A, la valeur de ^ sera déterminée par la formule (25), dans laquelle on pourra successivement attribuer à to les diverses valeurs positives et négatives qui représentent les diverses racines de l'équation (7), attendu que le second membre de l'équation (25) se réduit de lui-môme à zéro toutes les fois que la valeur de «i* doit s'évanouir. Donc, en réunissant les diverses valeurs de ^ correspondantes aux diverses valeurs de co et doublant la somme obtenue, on aura, sous la condition que nous venons d'indiquer,

(26) J)''m=i^^ r.^ / SÏI{S)(IS.

Pour ne pas trop allonger cet article, nous renverrons à d'autres Comptes rendus les conséquences nombreuses et importantes qui se déduisent de la formule (2G), et l'examen des modifications que cette

formule doit subir quand le plan tangent à la surface des ondes traverse cette surface dans le voisinage du point A dont les coordonnées sont représentées par .r, y, z.

(l\i.(i:i. INTÉGRAL. — Mémoire sur l' intégration des équations homogènes

en termes finis.