C. R., l. XIII. p. 564 (i3 septembre

Etant donnée une équation caractéristique homogène et du degré n, dans laquelle les variables principales sont trois coordonnées rectangulaires x,Y, Z et le temps /, on peut exprimer en termes finis, sinon la fonction principale, au moins sa dérivée de l'ordre n — i , prise par rapport au temps, dans le cas particulier où la valeur initiale de cette dérivée dépend d'une fonction linéaire des coordonnées, c'est-à-dire de la distance à un point fixe. C'est même cette circonstance qui, en réduisant le calcul des phénomènes à la discussion d'une intégrale en termes finis, permet d'établir très facilement les lois de la propagation des mouvements simples d'un système de molécules, ou, en d'autres termes, les lois des mouvements à ondes planes. Les calculs semblent au premier abord devoir être beaucoup plus difficiles dans le cas général où la dérivée, de l'ordre « — i, de la fonction principale a pour valeur initiale une fonction quelconque des coordonnées. Toutefois on peut, comme nous l'avons expliqué, ramener le cas général au cas particulier où la valeur initiale dont il s'agit dépend de la distance à un point fixe, et s'évanouit dès que cette distance cesse d'être très petite. Déplus, on pourra, dans ce dernier cas, à l'aide des principes établis dans le précédent Mémoire, réduire la dérivée de l'ordre n — 1 de la fonction principale à une intégrale simple. Il est aisé d'en conclure que la dérivée de l'ordre n — i pourra être alors exprimée en termes finis.

C'est ce que je me propose maintenant de faire voir. Je montrerai dans un autre Article que cette circonstance permet d'établir très facilement les lois de propagation des ondes d'épaisseur constante.

Analyse.

§ I*^'". — Considéracions générales.

Prenons pour variables indépendantes le temps t et les trois coordonnées rectangulaires x, y, z d'un point mobile dont la distance à l'origine sera

/• =: \Jx^' 4- /- -h z'-.

Nommons

une fonction de ces variables, entière, homogène, du degré n, et dans laquelle le coefficient de t" se réduise à l'unité. Enfin supposons la fonction principale en assujettie à la double condition de vérifier, quel que soit/, l'équation aux différences partielles

(1) . F(I),,I),,I)„I),)M = o, et, pour t = o, les conditions

(2) M = o, I)^m=:o, ..., l)^'~-nT =; o, D""'c7 = nj(.r, j, -).

Si l'on pose, pour abréger,

(3) a = Dr'^,

l'inconnue ■^ vérifiera elle-même l'équation caractéristique

Elle sera donc une intégrale de cette équation; et elle en sera même une intégrale en termes finis dans deux cas dignes de remarque, et que nous allons successivement considérer.

Soient p, q les angles polaires formés : 1° par le rayon vecteur r avec l'axe des.r; 2" par le plan qui renferme ce rayon et cet axe avec

le plan tles .v, y; en sorte que p, q, r représentent les coordonnées

polaires liées aux coordonnées rectangulaires r, y, z par les équations

connues

:r = /• cos/>, >' = /• siii/^ COS7, z =z r s'inp s\nq.

Si l'on nomme u, v, w les cosinus des angles formés par le rayon vecteur r avec les demi-axes des coordonnées positives, on aura

(5) « = ces/?, (' = sin/>cos^, »r^= sin/> sin^,

et l'équation du plan mené perpendiculairement à ce rayon vecteur par l'origine des coordonnées sera

iir -h vy -\~ wz r=i o.

Ajoutons que, si un point (,r,jK, z) est situé hors de ce plan, sa distance au plan sera la valeur numérique de la quantité ç déterminée par la formule

(6) ç 1= «.c H- VY 4- tv :;.

Cela posé, concevons d'abord que la valeur initiale de », représentée généralement par cî(^% y, ^), se réduise à une fonction de ç, en sorte qu'on ait, pour / =0,

En vertu de la formule (20) de la page 25o ('), la valeur générale de « sera

ou, ce qui revient au même,

la valeur de s étant

et le signe ^ s'étendant à toutes les racines de l'équation

EXTRAIT N" lis. 329

(Concevons à présent que la valeur initiale de a se réduise à une fonction de la distance rqui représente le rayon vecteur mené de l'origine au point {oc, y, z); en sorte (ju'on ait, pour l = o,

Alors, en supposant toujours les valeurs de w et de s déterminées par le moyen des équations (9) et (10), jointes aux formules (5) et (6), on aura, en vertu de la formule (4) de la page 299,

(11^ «rr: — - / J tt^ ' S\n O Ctq dp,

II(^) devant être considéré comme une fonction paire de s. Donc, en posant, pour abréger,

et ayant égard à la formule (9), de laquelle on tire

(is ::= 0) d(,

par conséquent

on trouvera

(12^ « ir:: ^— / / ) ^-r^ ^ r- Slll p dq dp.

Si maintenant on suppose, d'une part, que F(.r-,,r, s,/) soit une fonction paire de /, d'autre part, que IT(^), et par suite f(^), s'évanouissent hors des limites

£ désignant un nombre très petit; alors, en appliquant à l'équation (12) les principes de réduction développés dans le précédent Mémoire, on verra la valeur de a se réduire à celle que donne la formule

k coso

{\s)ds.

Dans cette dernière formule, après l'extraction des résidus, on doit

OEuvrcs de C. — S. 1, t. VI. '«^

prendre pour valeurs de u, i\ w Aq'^ fonctions déterminées de x,y, z, savoir, celles qui représentent les cosinus des angles formés par les demi-axes des coordonnées positives avec la normale menée à la surface des ondes parle point D où cette normale coupe le rayon vecteur/-. Si Ton représente par

la surface des ondes, ^ étant fonction de x, y, z, t, les valeurs de u, r, w seront précisément celles que l'on déduira des formules

«'"^ iM = n;3 = iM' «' + - + "■' = ■.

jointes à l'équation (i5), à l'aide de laquelle on peut toujours éliminer /. Ajoutons que les signes de u, r, w devront être choisis de manière à vérifier la condition

(17) //.r H- cj -f- 1^5 > o.

Quant aux quantités 0 et k, elles représenteront, d'une part l'angle formé par le rayon vecteur r avec la normale menée par le point D à la surface des ondes, et d'autre part ce que devient le rayon de moyenne courbure de la surface caractéristique, pour le point Cde cette dernière surface qui correspond au point D dfs la surface des ondes, dans le cas particulier où le rayon vecteur OC se réduit à l'unité. Il est aisé d'en conclure : i"que l'on aura

(18) coso= ■-

2" que, si l'on pose, pour abréger,

F(«, i", fï', w) = \,

k sera le produit des deux axes de l'ellipse représentée par le système des deux équations

/ X* D * A + y' Dt A + z^ D l A + 2 yz D, D,, A + 2 zx D,., D„ A + 2 x y D„ I), A

(19) j =^z[iD„A)^ + (D,A)^4-(D..,A)^]^ ( X D„ A i- y D^ A -}- z D,v A = o.

EX HUIT N» Uo. 331

Il est généralement facile d'obtenir en ternies finis la valeur de la seule intégrale que renferme la formule (i/|). En effet, on a généralement

/ ï'{s)ds = î{ç + (^t) — f{—c).

D'ailleurs, lorsque la fonction f(^), qui s'évanouit hors des limites

reste continue dans le voisinage de la valeur particulière .v = — i, on a certainement

<'t, par suite,

V{s) ds = f(ç + wO — (^- -+■ f'>0 n(ç -i- wO, — e

ce qui réduit la formule (i4) à

la valeur de s étant donnée par l'équation (9), ou, ce qui revient au même, par la suivante :

Il semble, au premier abord, que l'on pourrait conserver des doutés sur l'exactitude de la formule (20), dans le cas où la fonction n(*), passant brusquement d'une valeur différente de zéro à une valeur nulle, offrirait une solution de continuité pour s = — i, ce qui nous obligerait à regarder les valeurs ll(— e) et f(— £] de II (j) et de f(*) comme indéterminées. Mais on peut lever ces doutes en considérant une fonction qui passe brusquement d'une valeur différente de zéro à une valeur nulle comme la limite d'une fonction dont la valeur numérique décroit très rapidement; ou, mieux encore, en appliquant <lirectemcnt à la détermination de «, dans le cas dont il s'agit, les principes exposés dans le précédent Mémoire. En effet, posons alors, pour

abréger,

Do, F («,(',«•, w)

et nommons 0 un élément de la surfaec sphérique qui a l'origine pour centre et pour rayon l'unité. Dans l'intégrale double

(22) T- / rîTT —-y-Sinpdqdp,

que renferme la formule (i i), la partie (S, correspondante à une racine déterminée de l'équation (lo) et à des valeurs de u, r, w assujetties à vérifier la condition (17), sera, comme nous l'avons remarqué dans le précédent ^jémoire,

D'ailleurs la valeur de (t\ déterminée par l'équation (23), s'évanouira généralement quand le point {a:,y,z) ne sera pas très voisin de la nappe qui, dans la surface des ondes, correspond à la racine que l'on considère. Au contraire, ^i? cessera de s'évanouir si le point (^,y, s) est compris dans l'épaisseur de l'onde engendrée par une sphère doni le rayon serait t, et dont le centre se promènerait sur la nappe dont il s'agit. Alors aussi, dans le second membre de la formule (23), la sommation indiquée par le signe 2ll pourra être restreinte aux seuls éléments 0, 0', 0", ... de l'aire

K m 2 7îk COSO,

mesurée sur la surftice sphérique qui a pour rayon l'unité, dans l'intérieur d'une certaine courbe HT... dont les dimensions seront très petites; et 0 pourra être censé dépendre de la seule variable s. Soit d'ailleurs E la valeur, différente de zéro, acquise par la fonction

{(s) = sU{s)

au moment où la variable s s'approche de la limite — £ qui rend cette fonction discontinue. Si le temps / vient à varier, et à recevoir un ac-

croisseincnt infiniment petit It, la valeur de <Ji?, déterminée par l'équation (23), variera pour deux raisons, savoir : i" parce que le coefticient H, variable avec s, recevra, pour une valeur de s donnée par la formule (21), l'accroissement infiniment petit

2" parce que la plus grande des valeurs de K, c'est-à-dire la valeur de k correspondante à 5= — £, et représentée par le produit

'irrk —

COSO,

perdra quelques éléments

dont la somme sera la valeur numérique du produit

2r.k - co^o.At.

On trouvera en consé([uence

( o. \ ). I), <i^ =^ 7^ V '^^0 I),0 + - '.> (-) - cos 0,

s devant être réduit à — £, et f(.v) à E, dans la vahuir de H (jui deviend ra ainsi

Comme d'autre part les principes exposés dans le précédent Mémoire réduisent la quantité

au produit

1 r,)''-l kcOSÔ /

2 i)<oF(«, r, «r, r,))

dans le(juel on devra supposer

COSO / ,., ,

/ i'{s)ds:=z({ç-i-f.)t) — \i.

;m COMPTES RENDIS DE LAÇA DEMIE.

la formule ( 2^) donnera définitivement

Pour déduire de cette formule la valeur de «, il suffira de réunir les diverses valeurs de D/jP correspondantes aux diverses valeurs de w et de doubler ensuite la somme obtenue. Or, en opérant ainsi et ayant

égard à la formule

on retrouvera précisément l'équation (20).

En résumant ce qui a été dit dans ce paragraphe, on obtient les conclusions suivantes.

Soient gt la fonction principale qui vérifie l'équation (1)' et « la dérivée de l'ordre n — i de cette fonction principale. Si la valeur initiale de 8 dépend seulement d'une fonction linéaire ç des coordonnées x, y, s, c'est-à-dire de la distance du point [x,y,z) à un plan fixe, la valeur générale de « s'exprimera 'en termes finis à l'aide de l'équation (8). De plus, si la valeur de « dépend seulement du rayon vecteur r, c'est-à-dire de la distance du point {x,y, js) à un centre fixe, la valeur générale de « s'exprimera en termes finis à l'aide de la formule (20), avec une approximation d'autant plus grande que la sphère, en dehors de laquelle la valeur initiale de « s'évanouit, sera plus petite. Dans tous les cas, la valeur générale de a vérifiera l'équation caractéristique, et par conséquent la formule (8) ou (20) offrira une intégrale de cette équation en termes finis.

Si l'on voulait obtenir la valeur générale, non plus de la fonction

« = d;' 'î^, mais de

f j désignant une fonction entière quelconque des lettres caractéristiques

alors, à la place des équations (8) et (i lU on obtiendrait les suivant«'s

dont la première pourra être généralement réduite à la formule

(28) DgT^r '*""' ,, n\K" n(-0.

Il y a plus : la formule (^27) pourra elle-même, dans beaucoup de «as, être réduite, sans erreur sensible, à la suivante :

(.9) ^^=T^ r Cl i Fini t^.)) QP-' ""-^ ^^'^'^'^ '^'''

Si l'on applique au second membre de celle-ci la métbode de réduction ci-dessus appliquée au second membre de la formule [\ i „ on parviendra, non plus à l'équation (2o\ mais à la suivante :

I» f»»""' kcos(5 „i « TT/

Dans ces diverses formules, la valeur de^ est toujours celle que fomiiil l'équation (21).

La formule (3o), comparée à la formule (28), fournil le moyen de reconnaître les rapports qui existent entre les lois de propagation et de polarisation relatives, d'une part aux ondes planes, d'autre part aux ondes courbes dont l'épaisseur est infiniment petite. C'est, au reste, ee (|ue nous expliquerons plus en détail dans un autre Article.

§ II. — Extension des formules établies dans le premier para^rnphf.

La formule (11) du paragraphe précédent se rapporte au cas où la valeur initiale de « est représentée par une fonction paire du rayon

:î:îr, comptes rendus de lacadémie.

vecteur/-, ou, ce qui revient au même, par une fonction de

Pour plus de généralité, on pourrait supposer que la valeur initiale de ■^ est de la forme

la Ic^ttre 11 indiquant toujours une fonction paire, et la lettre x désignant la racine carrée positive d'une fonction de x, y, z, entière et homogène, mais du second degré. Soit, en conséquence,

a, h, c, d, r%/ désignant des coefficients constants, tellement choisis que la valeur de r soit constamment réelle, et différente de zéro. Concevons d'ailleurs que les équations

ax -\- J'y 4- e3 = X, fx + by -+- dz =. y, ex 4- dy -h c z =:^/.,

résolues par rapport à œ, y, z, donnent

X =:: ax -4- fy 4- ez, y =fx 4- by 4- dz, 5 =r ex 4- dy 4- cz;

enfin nommons V et Vies volumes des deux ellipsoïdes représentés par les deux équations

ax'^ 4- by- 4- es- -h 2 dyz -+- "^ e zx ^ ^/x)' = i , ax- 4- by- 4- cz-4- 2 dyz 4- 2 ezx 4-2 fxy =: i;

on aura, non seulement

abc — ad^ — be'^ — c/^ 4- 2 de/ = — ,

abc — ad^ — be'-' — cf- 4- 2 def = y^i '

mais encore

soient de plus, comme dans le § I,

uzzzcosp, i' ^^sinp cosc/, n^' =: sin/o sit»^/,

ç — M.r + t^j -\- wz',

et posons

Q = ( a u- -f- b ('* H- c w* 4- 2 d vw -h 2 e wu + 2 ïuv Y .

Si l'on représente par f{v) une fonction impaire de ï, on aura, en vertu de la formule (27) de la page 237,

Si l'on pose en particulier

on aura, par suite,

a = b = c=i, (lr=e = f=o,

et la formule (i) donnera simplement

(2) 1^ = ^ r r {'{q)smpdqdp.

L'équation (2) est précisément celle que nous a fournie la valeur de « que présente la formule (11) du § I. Mais, si, dans la recherche de la valeur de «, on substitue l'équation (i) à l'équation (2), alors, au lieu de la formule (1 1) du § ï, on obtiendra la suivante

la valeur de s étant toujours

ORuvresdeC. — S.\.y..y\. 4^

Si maintenant on applique à la formule (3) la méthode de réduction précédemment appliquée à la formule (i i) du § I, on obtiendra l'équation suivante

,, ^^ p 0)"-* kcosô „ / -^ \

*-(t(«,(', «^a)))a, Q'r \QJ

les valeurs de

étant précisément les mêmes que dans les formules (20) et (3()) du premier paragraphe.

§ 111. — Application des foi mules établies dans les deux premiers paragraphes au cas où l'équation caractéristique est du second degré seulement.

(Considérons en particulier le cas où l'équation caractérisli(}ue esl du second degré; et supposons d'abord que l'on ait

il désignant une constante positive. Alors, l'équation de la surface caractéristique étant

celle de la surface des ondes sera

et les formules (16], (17), (18) du § I donneront

U (' W I COSO Ç

COSÔ=l, ç r= /•.

De plus, les formules (19) du § I, étant réduites aux suivantes x^ + y^ H- z^ := I, //x -I- i'y 4- a'z =0,

représenteront un grand cercle de la sphère dont le rayon est l'unilé.

On aura donc encore

('( la Ibi'imile (20) du § I donnera

ou, ce (|ui revient au même,

Il est aisé de s'assurer directement que celte valeur de a vérifie en effet l'équation caractéristique

[I)^-i>MI)^ + D^.+ D|)]«=:o.

Il est clair d'ailleurs qu'elle se réduit à !!(/'), pour / = o. Supposons en second lieu

(3) V{-r,f, -, 0 = ^" — (a-27- 4- bj- + C3- + 2 dyz -+- 2 e^.r + 2 f.:rv-). Alors, l'équation de la surface caractéristique étant

ax- + by- 4- cz- 4- 2 dyz + 2 ezx 4- 2 fxy = /-,

l'équation de la surface des ondes sera de la forme

ace- 4- Oy^ 4- cz- 4- 2 «?/:; -+- 2 ezx -h a/.rj =: ^■-,

les relations entre les deux systèmes de coefficients

étant les mêmes que dans le second paragraphe; et, si l'on pose, pour abréger,

i^ ^= (a«' 4- b('- 4- CH'^H- 2tl('tv 4- 2 6(17/ 4- 2 f/zr)- .

V = {ax- 4- bf^-+- cz- 4- ^(/vz 4- 2e-.r 4- "î/jcyy ,

les formules (16) et (17) du §1, jointes à l'équation (6) du même païai^raphe, donneront

\ ajc 4- /'y 4- ez f'jc 4- bv-+- dz ex 4- dy 4- cz t*

I Hf/ 4- fr 4- etr f// 4- br 4-(ltr e// 4- de 4- c«' 12^

On aiii'a pai' suite

(5) Ç^ = a'^\ Ç=:Qv.

Faisons d'ailleurs, pour abréger,

R = [{-àu -i-fv -i-ewy +- (fM + hç 4-tUv)* -i- {eu + dv + cwyy.

On tirera encore de la formule (4)

par conséquent, eu égard à la formule (i8) du § 1,

elles équations (19) du § I, jointes à la formule (4), donneront (7) ax-+ by^-i-cz^-H 2dyz + 2ezx + 2fxy — R, .rx -h yy + sz — o.

Dans l'ellipse que représentent les deux dernières équations, quand on V considère x, v, z comme seules variables, le produit k des deux demi-axes est déterminé par la formule

et de celle-ci, jointe à l'équation (6), on tire

kcos(5 I ^

la valeur de t? étant la même que dans le § H. Gela posé, comme la quantité ici désignée par ù ne diffère pas de celle qui, dans la formule (4) du second paragraphe, se trouve représentée par la lettre Q, cette même formule, jointe à l'équation

donnera

^— tLïV--- i2

EXTRAIT N° \ke. 3«>l

ou, ce qui revieut au même,

Il est aisé de s'assurer directement que la valeur de «, donnée par l'équation (8), vérifie en effet l'équation caractéristique

[ D« - ( a Dj. + b I)| 4- cD,? + 2 cl D,, D, + 2 e D, l)., + 2 f D^ I)^)] h = o.

Il est clair d'ailleurs qu'elle se réduit à ri(t) pour t = o.

Mécanique céleste. — yote sur une transcendante que renferme le développement de la fonction perturbatrice relative au système planétaire.