C. R., T. XIII, p. 682 (4 octobre

§ I. — Considérations générales.

Soient, pour la planète m et au bout du temps /,

r la distance au Soleil ; /; la longitude; ']^ l'anomalie excentrique; T l'anomalie moyenne.

Soient encore

a le demi grand axe de l'orbite décrite par la planète m;

i l'inclinaison de cette orbite;

£ l'excentricité;

Gï la longitude du péribélie ;

Enfin nommons

/•', //, f, T\ a, t', £', i5t', cp'

(■(' (juc (It'vienncnt

/■, />, ']), T, a, i, s, nj, 9

quaiKl on passe de la planète 7?i à la planète m'; x la distance réelle des planètes m, m au bout du temps /, et o leur distance apparente. La fonction perturbatrice R sera, comme l'on sait,

(i) R— — 7^- COSÔ 4-. . . — ...,

la valeur de x étant

D'ailleurs, en nommant r^ la tangente de la moitié de l'angle dont le sinus est £, on a, pour chaque planète m, non seulement

(3) /•=:a(i~£COS(];), T^^ — fèXwh,

mais encore

i i-ecos<j>:=('^Vi--r)e'W-"ï)(,--oe"^v/-'),

,-(/J-CT)/^— - ^.-(^v^-1

et, pour les deux planètes m, m ,

(5) COSÔ=r ij.cos{p'— p + II) 4- vcos(/:»'— p -+- <P),

[j., V, 11, <J[> désignant quatre constantes dont les deux premières soni liées à l'inclinaison mutuelle I des orbites par les deux équations

(6) v = sin2-> [ji = cos^ - = I — V, tandis que les deux dernières vérifient les formules

(7) sinll— sin(©'— o), sin^= sir)(©'— 9).

EXTRAIT iV 146. SkS

Si l'on développe R suivant les puissances entières des exponentielles trigonométi'iques

on obtiendra une cMjuation de la forme

le signe ^ s'étendant d'une part à toutes les valeurs entières positives, nulles ou négatives de /*, /i'; d'autre part, à toutes les combinaisons (|ue l'on peut former avec les planètes m, m', . ,. prises deux à deux, et la valeur du coefficient (m, fn'),,y étant fournie par les équations

, ^2 71 ,,2Tr

Or on peut ramener le calcul du développement de R an calcul de deux cspiM'es d'intégrales définies, savoir, de celle que renferme le développenif^nt de la fonction

i (ti) A=i [À — ,a ces (/>'—/>-+- TTv)] -

suivant les puissances entières de l'exponentielle trigonométrique la valeur de A étant

et de celles qui naissent du développement de la fonction suivant les puissances entières de l'exponentielle c'est ce que l'on verra dans les paragraphes suivants.

§ II. — Valeur de A„ „ .

Comme nous l'avons prouvé dans un précédent Mémoire, on a

la valeur de P^^^ étant nulle lorsque les valeurs numériques de A, h' diffèrent de l'unité, et la valeur de Qh,h' étant de la forme

Comme on a d'ailleurs

P k-^p'^\l-'\ P ÏMP-^\I^

P \..p\\J'^ I) ^l,,^p-IIv'^

1 i^i — ^[le V , I [ , — ^^e V ,

l'équation (i) peut être réduite à

Quant aux valeurs de

elles sont données, sous forme d'intégrales définies, par les équations

(5) q'-a'-'^i^^ -- / e-'^-r^-^ JJll d^:^

et, pour déduire de ces formules les valeurs de

il suffira d'y changer, dans les exponentielles, le signe de <} ou de t)/'. D'ailleurs, comme on a

dT'=^ (i - e'cost];') ^^'= (-^)(i - ■oe4'V=-"ï) (i - Y)'e-^V=ï),

EXTRAIT N" U6. ' 3i5

une seule intégration par parties, appliquée à la formule ( ")), donnera

Si, dans les formules (4) et (5), on substitue pour 7', T leurs valeurs tirées des équations

alors, en posant, pour abréger,

on trouvera

puis, en nommant r?'^^ ce que devient o'/t quand on remplace i par s' et // par //', on trouvera encore

Ainsi, chacun des quatre coefficients

se trouve exprimé à l'aide d'un petit nombre de valeurs de la transcendante

6\. ou 6"/i,

dont la forme est donnée par l'équation (7). On peut tirer d'ailleurs facilement de l'équation (7) la valeur de la transcendante dont il s'agit, développée en série convergente. Kn effet, comme on a

e"ss'"?v'-' = e* e ^ ,

OËuvres de C — S. 1,1. M. 44

il suffira de développer chacune des exponentielles

-iv^

suivant les puissances ascendantes de £, pour en conclure que la valeur o>i, ou le coefficient de

dans le développement de la fonction se réduit, quand /• est positif, à

(lo) r, u

{\ntf

(-i)VS',.,

Cette dernière équation fournit, en général, le moyen de calculer facilement la quantité 6\' 1-^ valeur qu'elle donne pouro^^ est évidemment positive et inférieure à l'unité quand on a

Pour de grandes valeurs de k, on aura sensiblement

I ariEY

et, par suite,

Les formules qui précèdent fournissent le moyen de calculer très facilement le coefficient A„.„ , surtout lorsque n, n' sont de très grands nombres. Dans un prochain article, je donnerai l'application de^s mêmes formules à la détermination du coefficient B„,„ .

EXTRAIT N" ikl. 3W

Analyse mathématique. — Sur le développement du reste qui complète la série de Taylor en une série nouvelle.