C. W., T. XIH, p. 842(25 oclbrc
J'ai donné dans un précédent Mémoire les règles de la convergence (les séries qui naissent du développement des fonctions explicites ou implicites, et prouvé que ces séries restent généralement convergentes tant que les fonctions et leurs dérivées du premier ordre restent continues. D'ailleurs les principes, desquels j'ai déduit cette proposition dans le Mémoire de i83i, fournissent eux-mêmes les développements d'un grand nombre de fonctions en série, et en particulier les séries de Lasranîîe, de Tavlor et de Maclaurin. Je vais aujourd'hui déduire des mêmes principes une formule nouvelle qui peut être employée avec avantage dans la solution de divers problèmes. Cette nouvelle formule sert à conveetir le reste, qui complète la série de Taylor, en une autre sério dont les divers termes sont respectivement proportionnels, non plus aux dérivées de divers ordres de la fonction que l'on considère, mais aux dérivées de même ordre de cette fonction et de plusieurs autres qui forment avec elle une progression géométrique dont la raison est la variable même. D'ailleurs la nouvelle série jouit, comme la série de Taylor, de cette propriété remarquable que, si on l'arrête à un terme donné, il sera facile de calculer une limite de l'erreur commise en vertu de l'omission des termes suivants. Dans plusieurs cas, par exemple, quand la fonction donnée se réduit à une puissance d'un binôme, la nouvelle série peut converger très rapidement dans ses premiers termes, et elle fournit alors le moyen de calculer sans peine, avec une grande approximation, le reste propre à compléter la série de Newton. Ce n'est pas tout; les développements de diverses fonctions transcendantes peuvent être complétés de la même manière par des séries qui, étant très convergentes dans leurs premiers termes, permet-
tent d'évaluer avec facilité les restes de ces développements. Parmi ces fonctions, on doit distinguer les logarithmes, les arcs de cercle correspondants à une tangente ou à un sinus donné, diverses intégrales définies, etc.
Je viens d'indiquer les principaux résultats auxquels conduisent les formules que renferme le présent Mémoire. Dans un second article, je montrerai la grande utilité de ces formules appliquées à la Mécanique céleste, et en particulier au développement de la fonction perturbatrice.
Analyse.
§ l*"''. — Considérations générales.
Soient f(^) une fonction de la variable x, et
une variable imaginaire dont le module ^ soit supérieur à x. Si la fonction î[x) et sa dérivée du premier ordre restent finies et continues pour un module de x inférieur à z, on aura
Donc, si l'on attribue à la variable x un certain accroissement A, tellement choisi que le module de la somme x -^ k reste inférieur à z, on aura encore
(2) f(.r + /0=— r :r^^^^dp.
D'ailleurs, l'équation (i), différentiée n fois de suite par rapport à r, donnera généralement
Si maintenant on développe, dans la formule (2), le rapport
iMi une progression géométrique ordonnée suivant les puissances ascendantes de A, on trouvera
et, eu égard à l'équation (3), la formule (2) donnera
la valeur de r„ étant
La formule (5), qui fournit la valeur de î{x + h), oiïre pour second membre la série de Taylor avec le reste j\ qui complète cette série arrêtée après le /i'^"* terme. On sait d'ailleurs que ce reste peut encore être présenté sous la forme
On a donc identiquement
(8) — / -r ^^ 7- dp == / -^ \il f(.r -\-k-z) dz.
Concevons maintenant que, dans l'équation (G), on développe le rapport
suivant les puissances ascendantes de t à l'aide de la formule
(9) . r ;: 7. — — I —-r-r. -^ TinrKKi +• • • -^ r^r^r^ J
Ç — J7 — /i Ijc + A ' (.r + Zi)- ■'■ (J^-^/0"'J (.r + //)'" (Ç — j- — //)
On en conclura, eu égard à la formule (3),
la valeur de x,„ étant
( ~^-T Dr' f(^) + , — ~TT^ i>r' [-p f(>^)] + • • • 1
OU, ce qui revient au même, en vertu de l'équation (8),
( I a ) v„, = ^ -'--;^ r ^, ■ D" Uji' + A - ^)"' f( .r + A — c )] r/c.
^ ^ '" {oc-\-h)"\1^ i.2...(/t — i) -^LV -^ / V 'J
Lorsque, x ei h étant réels, la fonction f (:;) est elle-même réelle, et reste continue avec sa dérivée entre les limites g = o, z=. x -{- h, on tire des formules (7) et (r2)
(.3) '■«^TT^.T/i'^"^^'"^^'^'^'
et
(.4) .,,^^-Jll--^--^}-^.-^^^^^^^
0 désignant un nombre compris entre les limites o, i, et dont la valeur, variable avec o?, ne doit être substituée dans les formules (i3) et (i/|) qu'après que l'on aura effectué les différentiations relatives à x, en considérant le produit ÔA comme constant.
Quoique le second membre de la formule (9) ofTre une progression géométrique divergente, il arrivera souvent que la série comprise dans le second membre de l'équation (10) commencera par converger très rapidement. Alors on pourra se servir de cette série pour calculer avec une grande approximation le reste r^ de la série de Taylor. L'équation (i/j)» ou les équations du même genre que l'on pourrait déduire de la formule (12), si la quantité h et la fonction f(::) devenaient ima-
ginaires, serviront à fixer les limites de l'erreur commise dans Téval nation approximative du reste r„.
Si, dans les formules ( >), (lo), (12) et (i4)< on remplace ce par zéro, et A par œ, on obtiendra d'autres formules dont on pourra souvent faire usage pour déterminer, avec une grande approximation, le reste qui complète la série de Maclanrin, et poUr fixer les limites des erreurs commises dans l'évaluation de ce même reste.
§ II. — DéK'cloppenienl d'une puissance d'an binôme.
Lorsque, dans les formules (.")), (10), (12) et(i4) du ^ l*"'", on pose
s désignant une quantité réelle, on obtient des équations qui fournissent, non seulement le développement connu de
{jc + hy
en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de h, mais encore le reste t\ de cette série, développé lui-même en une seconde série qui converge très rapidement dans ses premiers termes, quand le nombre n devient très grand, et qui jouit, comme la première, de cet((^ propriété remarquable, qu'on peut, en l'arrêtant à un terme quelconque, déterminer facilement une limite de l'erreur commise en vertu de l'omission des termes suivants. En effet, dans cette bypothèse et en posant, pour abréger,
i .2. . .n on trouvera
(I) {x + hyz=a''-h {s)Jix'-' + {s),h'-x^-'-^. .. + (.v)„, /*"-'. r-'-''^»-l- /•„,
^ ' " \^x -h h {x ^- hy {x -\- ny
(3) -'n = (s-r-m)„-^^^J' z--Hx + /,-zy-"'"'dz,
(4) v„. ^ {s + /n)„ ^^^jyr, (^ + Ohy^'n-'-,
0 désignant un nombre renfernié entre les limites o, i. Or, d'une part, lorsque n devient très grand, la série que renferme l'équation (2) converge très rapidement dans ses premiers termes, dont la somme est
et, d'autre part, la formule (4), ou les formules analogues que l'on déduirait de l'équation (3), si h ou œ devenait imaginaire, fournissent immédiatement une limite du reste qui complète la seconde série arrêtée après le terme dont le rang est m.
Si, dans les formules précédentes, on remplace x par l'unité, et // para:-, elles donneront
(5) {i + a-y^x-h {s)iJr-h (.02^' + . . .+ (5)„-,^"-'+ /•„,
(7) ,„, ,^(5-4-m)„^^^^^Jy^ ^ z'^-'{i-^œ-zy^"'-"clz,
(8) t,„ — {s + m)„ - — ; — v;:A^-\- OxY^"'-".
(i + xy"
Enfin, si, dans ces dernières équations, on remplace x par — x, et s pai' — .V, alors, en posant, pour abréger,
on trouvera
(.0) ..^^W^L^]^' + Il:z%+...^[^-^^+;k-i \i — x {\ — xy (j.^)'«
(II) ^„^ = ls-m]^~^^^ Ç z'^-\i-x-zy>^-s-n,i.^
Si l'on divise par -y les deux membres de chacune des équations (5 (6), (7), (8); si d'ailleurs, après avoir écrit, pour abréger,
r-n et X,, au lieu de
^ et ^ s s
on réduit s a zéro, alors on verra le rapport
se réduire simplement à
et l'on trouvera
