III 1.2 I I

Aux applications que nous venons de faire, des formules établies dans le § I, on pourrait en joindre beaucoup d'autres. Nous nous bornerons ici à en indiquer quelques-unes.

Si dans les formules (i 3), (i4), (i5) on remplace x par x y'— i , celles que l'on obtiendra fourniront, non seulement le développement connu de arctang^, mais encore le reste qui le complète, développé luimême en une série qui sera très convergente dans ses premiers termes quand n aura une grande valeur.

Si dans l'intégrale

Jf ( I — jc^) ^ dx =z arc sin x

OEuvres de C — S. I. t. VI. • 4^

i on substitue pour {i — .x^) ' sa valeur tirée des formules (9) et (10),

on obtiendra, non seulement le développement connu de la fonction arcsinas-, mais encore le reste qui le complète, développé lui-même en une série qui sera très convergente dans ses premiers termes, quand n sera très grand. Des remarques semblables sont applicables aux intégrales de la forme

j {i — x'-y^ix,

ainsi qu'à une multitude d'autres, et en particulier à certaines intégrales que l'on rencontre dans la Mécanique céleste, comme nous l'expliquerons plus en détail dans un autre Article.

En terminant ce Mémoire, nous observerons que les formules (1), (2), (3), (4) peuvent se déduire, non seulement des principes établis dans le § 1, mais aussi de l'équation

z-^dz

l -[- Z SMITI^

qui subsiste pour des valeurs de s comprises entre les limites o, i, ou plutôt de la formule

\- h-h z que l'on tire de l'équation précédente, en y remplaçant z par

Mécanique céleste. — Note sur la substitution des anomalies excentriques aux anomalies moyennes, dans le développem.ent de la fonction perturbatrice.