C. K.. t. XHI, p. 85o (25 octobre

Le calcul des perturbations des mouvements planétaires exige le développement de la fonction perturbatrice en une série de termes pro-

poi'tionnols aux puissances entières des exponentielles trigononiétriques qui offrent pour arguments les anomalies moyennes. Or ce développement peut être déduit de celui dans lequel les exponentielles trigonométriques offriraient pour arguments, non plus les anomalies moyennes, mais les anomalies excentriques. Il y a plus; on passera très facilement du second développement au premier, si l'on a commencé par former pour chaque planète une Table qui présente les diverses valeurs d'une certaine transcendante dont M. Bessel s'est occupé dans un beau Mémoire, présenté à l'Académie de Berlin en 1 824, et sur laquelle j'ai rappelé dernièrement l'attention des géomètres. Dans la précédente Note, je me suis proposé, comme M. Bessel, de montrer les avantages que présente l'emploi de cette transcendante dans le développement de la première partie de la fonction perturbatrice. Je vais montrer aujourd'hui comment la même transcendante peut servir au développement de la seconde partie de la même fonction, je veux dire, de la partie dépendante de l'action mutuelle de deux planètes.

Analyse.

Conservons les mêmes notations que dans la Note du 4 octobre, et soit toujours

(1) • R = -^cosd+. ..- — -...

la fonction perturbatrice. On aura

A«,«''et B„„/ étant les coefficients du produit

dans les développements des termes ^cosS et ^ • On aura d'ailleurs.

comme nous l'avons remarqué,

les valeurs de q^, q\ étant fournies par les équations

et les valeurs de r, T étant

(6) /• = a(i — £ cos^'), 7^== t]; — e sin^l.

Par suite, si l'on pose

et si l'on nomme rS), ce que devient ^^ quand on passe de la planète m à la planète m', les valeurs de

se déduiront aisément de celles de la transcendante é\ supposées connues,-à l'aide des formules (8) et (9) de la page 345. Ajoutons que, si l'on nomme cô^ une seconde transcendante déterminée par la formule

,STÏ

ou, ce qui revient au même, par l'équation

(9) (D. = é\ - \ {é\^, 4- éV. ) - '-^ &,.,

on pourra, aux formules (8) de la page 345, substituer les suivantes

Quant aux valeurs de q\, q^, elles seront toujours

Cherchons maintenant la valeur de B„y, et concevons que l'on commence par développer — suivant les puissances entières des exponentielles trigonométriques

On obtiendra ainsi une équation de la fornie

le signe \ s'étendant à toutes les valeurs entières positives, nulles ou négatives de /, /'. Gela posé, en représentant toujours par

le coefficient du produit

dans le développement de — » on tirera de la formule (12)

(i3) B„,„.r=y C/,,~ ^ r éi\^^^-)^^e-'"-^^''T'^f^'dTdT'.

D'ailleurs, en vertu de l'équation

T^=z i|i — £ sini|>,

Bn,«'

,n 7'y "-1 gn'T^—l

on trouvera

Donc la formule (i3) donne simplement

le signe 2 s'étendant aux diverses valeurs positives, nulles ou négatives de /, /'. Les formules (lo), (ii) et (i4) suffisent pour montrer combien il est utile de construire, ainsi que l'a fait M. Bessel, une Table propre à fournir les diverses valeurs de la transcendante d^^, de laquelle S),, se déduit aisément à l'aide de l'équation (9). Cette Table étant construite, la détermination de B,,^„' se trouve réduite au développement de - suivant les puissances entières des exponentielles

Au reste, la même conclusion se déduirait des deux formules que M. Jacobi a données dans le Journal de M. Crelle (XV* Volume, i836), j)our la détermination des coefficients de cos/zT et de sin/iJ, dans les développements de cos/vp et de sin/'>(;, et qui se trouvent comprises l'une et l'autre dans la formule (9).

Nous ferons, en terminant cette Note, une remarque essentielle. Quoique la sommation indiquée par le signe 2 dans la formule (i4) embrasse, à la rigueur, un nombre infini de valeurs de /, /', cependant le nombre de celles dont on devra tenir compte pour obtenir en nombres la valeur de B„ ,/ sera fini et souvent peu considérable, attendu que, pour de grandes valeurs numériques de k, la valeur de é\, et par suite la valeur de (D/^ donnée par la formule (9), seront généralement très petites. En effet, nous avons déjà reconnu, dans la Note précédente, que l'on a, pour des valeurs positives de k.