C. R.. t. XIFI, p. 910 (8 novembre i8{i

Une fonction d'une ou de plusieurs variables peut être développée, dans beaucoup de cas, en une série convergente, simple ou multiple, dont les divers termes présentent une forme donnée. Ainsi, par exemple, une fonction d'une seule variable peut souvent être développée en une série dont les divers termes soient respectivement pro- [)ortionnels aux puissances entières positives ou négatives de cette variable. Or, la forme du développement étant donnée, ilest très inipor-

tant de savoir si l'on peut obtenir ou un seul ou plusieurs développements de la même forme. La question est facile à résoudre, lorsque les divers termes doivent être proportionnels aux seules puissances entières et positives de la variable. Alors on prouve aisément que le développement est unique; mais la preuve fournie dans cette hypothèse n'est plus applicable au cas où le développement renfermerait à la fois des puissances positives et des puissances négatives de la variable. Il paraissait donc nécessaire d'examiner de nouveau la question, même pour les développements en séries ordonnées suivant les puis- ■ sances entières des variables. En m'occupant de cet objet, je suis parvenu à établir divers théorèmes généraux relatifs à des développements de forme donnée. Je me bornerai aujourd'hui à énoncer quelques-uns d'entre eux, me réservant d'en développer les démonstrations et de traiter la même matière avec plus d'étendue dans les Exercices d' Analyse et de Physique mathématique.

Il est facile d'établir les deux propositions suivantes :

Théorème I , — Si une série ordonnée suivant les puissances entières et positives d'une variable réelle ou imaginaire offre une somme nulle, tant quelle demeure convergente, chaque terme sera séparément nul.

Théorème II. — Si une série convergente, et composée de termes proportionnels, les uns aux puissances entières positives, les autres aux puissances entières négatives d'une variable réelle ou imaginaire, offre une somme nulle, pour un module donné de cette variable, quelle que soit d'ailleurs Il valeur de l'argument, chaque terme sera séparément nul.

De ces deux propositions on déduit immédiatement les suivantes, dont la première était déjà connue.

Théorème III. — Une fonction continue d' une variable ne peut être développée que d'une seule manière en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de cette variable.

Théorème IV. — Une fonction continue de la variable x ne peut être développée que d' une seule manière en une série convergente qui se com-

pose de termes proportionnels aux puissances entières positives, nulle et négatives de cette variable, et dont la somme représente constamment cette fonction pour un module donné de la variable, quelle que soit d'ailleurs la valeur de l'argument.

Le théorème IV cesserait d'être exact, si, pour le module donné de la variable, la fonction développée en une série convergente se trouvait représentée par la somme de cette série, non pour toutes les valeurs de l'argument, mais seulement pour celles qui seraient comprises entre des limites données.

On peut du théorème IV déduire un grand nombre de conséquences dignes de remarque. Pour en donner une idée, considérons une fonction rationnelle quelconque de la variable œ. Cette fonction rationnelle pourra être regardée comme formée par l'addition d'une fonction entière et de diverses fractions simples dont chacune sera proportionnelle à une puissance négative d'un binôme. Or, une telle puissance étant toujours développable, ou suivant les puissances ascendantes, ou suivant les puissances descendantes de la variable, suivant que le module de cette variable est inférieur ou supérieur au module du terme constant du binôme, on doit en conclure qu'une fonction rationnelle de la variable x sera, pour un module donné de x, toujours développable en une série convergente dont les divers termes seront proportionnels, les uns aux puissances entières positives, lesautres aux puissances entières négatives delà variable, et dont la somme représentera cette fonction, (|uel que soit l'argument de la variable. Cela posé, concevons que, par un moyen quelconque, on soit parvenu à déduire immédiatement une semblable série de la fonction rationnelle donnée, sans recourir à la décomposition de la même fonction rationnelle en fractions simples. Cette nouvelle série devra, en vertu du théorème IV, se confondre avec la première. A l'aide de cette seule observation, on peut facilement établir, non seulement les formules connues qui servent à déterminer les sommes des fonctions semblables des racines d'une équation algébrique donnée, mais encore une multitude d'autres formules, par

OF.uvics de r. — S. I, t. M. 46

362 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉxMIE.

exemple, celles qu'ont obtenues Lagrange, Laplace et Paoli pour le développement en série d'une fonction de la racine la plus rapprochée de zéro, ou de la somme des fonctions semblables de plusieurs racines. On peut même, à l'aide du théorème IV, prouver que ces diverses formules sont applicables, non seulement aux racines des équations algébriques, mais encore, sous certaines conditions, aux racines des équations transcendantes.

Analyse.

Si une équation de la forme

subsiste, pour tout module de la variable x inférieur à une certaine limite, il suffira de réduire x à zéro dans cette équation, multipliée par un terme de la progression géométrique

pour obtenir successivement les formules

Cette démonstration très simple du théorème I peut être étendue, comme l'on sait, au théorème III. {Voir l'Analyse algébrique, Chap. Yl.) Concevons maintenant que le module de la variable réelle ou imaginaire ^ soit représenté par X, et l'argument de la même variable par/;, en sorte qu'on ait

(j) ^ — Xe/'v'^.

Si, pour une valeur donnée du module X, une équation de la forme

(2) Uo-i- aix -^- a2X--h . . .-\- a^^x-'^ -\- a^^x"-^- . . .-=0

se vérifie, quelle que soit la valeur de l'argument/;, il suffira d'intégrer par rapport à/>, et entre les limites

p = 0, p — ITZ,.

EXTRAIT N° IW. 363

les deux membres de la formule (2), multipliés par

|)our obtenir l'équation

n étant une quantité entière quelconque positive, nulle ou négative. Donc alors la formule (2) entraînera les équations

(4) Uo — o, «1=0, ai — o, ..., a i = o, a 2 = o, ....

Cette démonstration très simple du théorème II est fondée sur un artitice de calcul analogue à celui dont Euler a fait usage pour développer une fonction en série de termes proportionnels aux cosinus des multiples d'un même arc. D'ailleurs le théorème II, une fois établi, entraîne immédiatement le théorème IV, et toutes les conséquences qui dérivent de celui-ci.

Il importe d'observer que, si l'équation (2) était seulement établie pour des valeurs de l'argument/? comprises entre certaines limites, elle n'entraînerait plus nécessairement les formules (4). A l'appui de cette observation, nous pouvons citer la formule

(5) - — x>4- i-r^»— 4^^ + . .. — J7-'+ TT.r--'— jX-'-h...=^o, ^ ' 2 3 0 60

(}ui subsiste, quand on y pose

non pour toutes les valeurs possibles de l'argument/?, mais seulement pour des valeurs de p comprises entre les limites

Observons encore qu'à l'aide d'intégrations définies on peut réduire des séries de diverses formes à des séries ordonnées suivant les puissances entières positives ou négatives de certaines quantités. Ainsi, en

364 COxMPÏES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

particulier, de ce qu'on a, pour des valeurs réelles et positives de /■

et de n,

C^ r , rc