I -~ sm np dp =L - e

il résulte qu'une équation de la forme

(8) f(/^) = «1 sin/) + «2 sin2/^ 4-. . , entraîne la suivante :

(9) -/ . -^ ,f{p)dp = aie-'--^a,e-"- +

On a encore

d'où l'on tire

de sorte que, si l'on pose

on conclura la formule

- / f(y>') sin/)(r//; = «„+ rtie-'"+ «2^--'" +

Il suit de ces remarques que le développement d'une fonction f(^) en une série semblable à celle que renferme l'une des formules (6), (8), (lo) peut être réduit au développement d'une certaine intégrale définie en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières dc^ la quantité e~'' . Les mêmes remarques permettent aussi d'établir divers lliéorëmes analogues aux théorèmes I, II, III, IV, et il en résulte, par exemple, que le second membre de chacune des formules (G), (8), (lo) ne peut s'évanouir, quel que soit/j, sans que chacun de ses termes se réduise séparément à zéro. iVinsi encore, une fonction f(/?) de l'angle/^ ne pourra être développée que d'une seule manière en une série convergente de la forme de celle que renferme l'équation (lo), si la somme de celte série doit représenter la fonction, quel que soit/?. Si, pour fixer les idées, on suppose la fonction f(/>) réduite à

2 /■ !L^' !IZ.' e — e

la série dont il s'agit sera nécessairement

Calcul intégral. — Note sur les fonctions alternées et sur les sommes

alternées.