C. R., t. XIII, p. 939 (i5 novembre

Cette Note, qui sera publiée en entier dans les Exercices de Mathématiques, a pour objet la démonstration de diverses propriétés des fonctions et des sommes alternées. Je remarque, entre autres choses, que si, la fonction f(.r, y, ::, . . .) étant rationnelle par rapport aux va-

l'iables :r, y, ::-, . . ., on pose

la somme alternée s sera de la forme

V, V, W désignant des fonctions entières de x, y, r, . . ., et P étant de la forme

V :=z{x - y) {œ - z). . .{y - z)', puis, en partant de cette remarque, j'établis la formule

// étant le nombre des variables x, y, z, ..., ou des constantes a, h, c, . .., â' désignant ce que devient le produit P quand on y remplace ces variables par ces constantes, et la valeur de la fonction V étant déterminée par la formule

V =z (^ — a) {x — b) {x — c) ...(.V — a) {y — h) {y — c) ... (; — a) {z — h) {z — c) .... Si, pour fixer les idées, on pose // = 2, on obtiendra la formule

(^.r — rt)(j— b) " {x — b)Jy — a) ~ {x — a) {x — b){y — a) ( r — b)

Si Ton pose n ='3, on obtiendra la formule

lv — a)i,y—b){z — c) {jc — b){y — c){z — a) {x — c){y — a){z — b)

observations relatives à une Note présentée par M. Blancliet (' ). C. R., T. Xm, p. 960(15 novembre 1841J.

La Note que M. Blancliet vient d'ajouter aux beaux Mémoires qu'il a présentés à l'Académie traite une question importante dans la théorie des ondulations, la question de savoir ce que deviennent les valeurs

(') Mécanique. — Note sur les mouvements très petits qui subsistent entre les différentes nappes de l'onde, dans la propagation d' un ébranlement central; par M. P. -H. Blanchet.

Dans le préambule d'un Mémoire inséré au n" 8 du tome XIII des Comptes rendus ( " j, -M. Cauchy dit que la dérivée de l'ordre n — i de sa fonction principale s'évanouit toujours pour tous les points qui ne sont pas infiniment rapprochés de la surface de Tonde. Il étend ces conclusions au cas où l'état initial est quelconque. A la page 4'^'- i'^)-, q"' termine le Mémoire, les mômes conclusions sont reproduites.

Il suivrait de là qu'il n'y aurait rigoureusement rien entre les différentes nappes de l'onde. Cependant les formules que j'ai données dans mon dernier Mémoire conduisent à des conséquences contraires.

Les intégrales triples, que j'avais négligé d'écrire dans le troisième Mémoire, })euvent être présentées sous la forme

— ^ / / / yXs)i'iit,s)--m\r;5dmd^,

r— , / / / -/(s) o';, ( t, s) — sin m dm c/ô,

comme on peut le voir dans le quatrième. s a remplacé p, et l'on a fait les transformations

i.r — X — ap, a = coscr,

j ^ IX = êp, 8 = sin HT cosO, z — V = Yp, Y = sinriï sinO ;

La fonction y^p) s'évanouit pour les valeurs de rn, ô et p, qui ne répondent pas à quel- (ju'un des points de l'espace primitivement ébranlés. Si donc les limites N'/ et N'/ de l;i première des intégrales (1) sont, l'une au delà, l'autre en deçà des valeurs de p pour les- ([uelles la fonction / ne s'évanouit pas, on pourra prendre, pour limites de l'intégraliou

(«) OEutres de Cauchy, S. I, T. VI, p. 288 (Extrait n" 142).

('') OEuvres de CaUcfij, S. I, T. VI, p. 3o2 et 3o3 (Extrait 11° li^).

des inconnues entre les diverses nappes de la surface des ondes. M. Blanchet ayant cité un passage de l'un de mes Mémoires, je demanderai d'abord la permission de relire le commencement de ce passage. Voici ce que je disais dans le Compte rendu de la séance du 23 août dernier.

rolalivcà .v, oot 4- ce; car au fond la triple intégration se rapportera à toute la portion de l'espace primitivement ébranlée.

Si l'on fait, dans la première des intégrales (i), la transformation inverse de la transformation (2), on trouvera

ot les limites des X, ,a, v seront — oc et -f- ce, ou, si l'on veut, les limites de l'ébranlement primitif.

La seconde des intégrales (i) donnera un résultat semblable; o\ sera remplacé par o\.

Le radical

est du même ordre de grandeur que t, car il est compris entre des quantités de la forme N?. D'ailleurs les fonctions cp'^ et cp'^ sont homogènes de l'ordre — i. Ainsi, en général, les intégrales de la forme (4) seront de même ordre que le volume de l'ébranlement primitif divisé par la quatrième puissance du radical (5).

11 faudrait donc que les fonctions (f 2 et tps présentassent des particularités bien extraordinaires pour que les intégrales (i) fussent rigoureusement nulles.

11 est évident qu'on peut arriver à un résultat analogue dans le cas où la plus grande nappe n'enveloppe pas toutes les autres. Il suffit de substituer à la surface qui limiterait naturellement l'onde extérieure une certaine portion de surface développable au delà de laquelle il n'y a rigoureusement rien(«).

Cela posé, dans les valeurs générales des déplacements ^, r,, t, les fonctions qui expriment les déplacements à l'origine du mouvement produiront des termes de la forme des intégrales (i). Les fonctions qui expriment les vitesses initiales produiront des termes de même forme ; seulement, au lieu des fonctions o\, o\, on aura des fonctions O'a, ^'j-

Dans les valeurs de ^ , $ , -^ , on aura encore des termes de même forme. Mais les dt dt dt déplacements primitifs amèneront dans les intégrales o'^, c»'^, tandis que les vitesses initiales y donneront *2, ^\-

Ainsi, il y aura des déplacements et des vitesses entre les nappes de l'onde. Toutefois ces déplacements et ces vitesses seront très petits par rapport à ceux qui auront lieu dans les nappes mêmes de l'onde, quand les dimensions de cette onde seront devenues très considérables par rapport aux dimensions de la portion de l'espace primitivement ébranlée. Si l'onde produit un phénomène sensible, ce phénomène pourra disparaître entre les nappes de l'onde à une assez grande distance de l'ébranlement primitif. Jamais il ne sera rigoureusement nul.

Ces conclusions s'accordent d'ailleurs avec les résultats obtenus par M. Poisson dans le cas de la propagation sphérique (t. X des Mémoires de l'Académie).

{") Voir Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. XIII, p. 197 et 339.

EXTRAIT N° 152. "^^'/roF

De la réduclion que j'ai obtenue, il résulte que la dérivée de la fonction principale de l'ordre n — i se réduit, pour les points situés dans l'intérieur de l'onde, à'une quantité infiniment petite, et, pour les points situés hors de cette même onde, à une quantité infiniment petite d' un ordre plus élevé. Jusque-là les calculs de M. Blanchet et les miens se trouvent complètement d'accord. Seulement, après avoir donné mes calculs, contre lesquels aucune objection ne s'est élevée jusqu'à ce jour, j'ai observé que des infiniment petits d'ordres supérieurs peuvent toujours être négligés relativement à des infiniment petits d'ordre moindre; et j'ai cru pouvoir conclure de cette observation qu'il n'existe rien entre les diverses nappes. M. Blancbet, sans attaquer mes formules, a déduit des siennes une conclusion contraire. Mais il reste ici une difficulté à résoudre; car on ne voit pas comment il arriverait que les conclusions auxquelles j'étais parvenu ne pussent se déduire de l'observation sur laquelle elles sont fondées. D'ailleurs la solution de la question agitée en ce moment repose sur des considérations tellement délicates que, avant de prononcer définitivement s'il existe quelque chose, ou s'il n'existe rien entre les nappes, il me paraît nécessaire de revoir tous les calculs, et de compiarcr entre elles les diverses formules. C'est ce que je me propose de faire. La Note de M. Blanchet sera un document nouveau qui pourra servir à éclaircir la question; et, si M. Blanchet a raison dans cette Note, je serai certainement le premier à lui rendre justice.

Analyse mathématique. — Note sur divers théorèmes relatifs à la rectification des courbes, et à la quadrature des surfaces.