C. R., T. XIII, p. 1060 (6 décembre

Dans un Mémoire lithographie en i832, j'ai donné les propositions suivantes :

Théorème \. — p désignant l'angle polaire que forme une droite 00'

OEucres de C. — S. I, t. VI. 4?

tracée à volonté dans un plan avec un axe fixe; S le système d'une ou de plusieurs longueurs mesurées sur une ou plusieurs lignes droites ou courbes, fermées ou non fermées; A la somme des projections absolues des divers éléments de S sur la droite 00', et r. le rapport de la circonférence au diamètre, on aura

Théorème II. — jo désignant l'angle formé par une droite quelconque 00' avec un axe fixe OP ; q V angle formé par le plan des deux droites OP, 00' avec un plan fixe qui renferme la première; S le système d'une ou de plusieurs suif aces planes ou courbes, et A la somme des projections absolues des divers éléments de S sur un plan illK perpendiculaire à la droite 00'; on aura

/ A s'mp dq dp.

Ces théorèmes entraînent évidemment les suivants : Théorème III. — Le périmètre d'un polygone ou d'une courbe est toujours égal ou inférieur à la circonférence d'un cercle qui aurait pour rayon le quart de la plus grande somme que puissent fournir les projections des diverses parties de ce périmètre sur un axe quelconque.

Théorème IV. — L'aire d'un polyèdre ou d'une surface courbe est toujours égale ou inférieure au double de la plus grande somme que puissent fournir les projections des diverses parties de cette aire sur un plan quelconque.

D'autres théorèmes qui se rapportent aux quadratures et aux cubatures, et qui seront développés dans les Exercices d'Analyse et de Physique matïiématique, se déduisent aisément des principes exposés dans mes Leçons orales à l'École Polytechnique. Je me bornerai à énoncer le suivant :

Théorème V. — Supposons qu'une aire plane, renfermée dans le périmètre S d'un polygone convexe ou d'une courbe convexe, ait été partagée

en rectangles égaux et très petits par deux systèmes de droites parallèles à deux axes donnés. Soient h, k les dimensions de chaque rectangle, mesurées parallèlement au premier et au second axe. Soient encore H et K les projections du contour S sur le premier ou sur le second axe. Si l'on prend pour valeur approchée de l'aire A la somme des rectangles qui sont entièrement renfermés dans cette aire, sans être traversés par le contour S, l'erreur commise sera inférieure au double de la somme

hK-^kH.

Considérons maintenant une aire plane A renfermée entre les périmètres de deux polygones construits de manière que les côtés du second polygone, parallèles à ceux du premier, en soient constamment séparés par la distance h. L'aire A, composée de trapèzes dont les hauteurs seront égales à h, aura évidemment pour mesure le produit de la distance h par la demi-somme des périmètres des deux polygones donnés, ou, ce qui revient au même, par le périmètre d'un troisième polygone dont chaque côté divisera la distance h en parties égales. Or, il suffira de transformer ce troisième polygone en une courbe plane dont-le rayon de courbure surpasse constamment la distance k=^^h, pour obtenir la proposition suivante :

Théorème VI. — Supposons que le centre d'un cercle, dont le diamètre est ik^ se meuve, dans un plan donné, sur une courbe fermée, dont le rayon de courbure surpasse constamment le rayon k. L'aire comprise entre les deux enveloppes intérieure et extérieure de l'espace parcouru par le cercle aura pour mesure le produit

S désignant le périmètre de la courbe.

Le théorème précédent fournit un moyen facile de trouver la limite de l'erreur commise, quand on substitue à l'aire d'une courbe plane l'aire d'un polygone inscrit ou circonscrit à cette courbe.

Il peut aussi fournir des relations entre des intégrales définies. Pour donner un exemple de ces relations, supposons que la courbe sur

laquelle se meut le centre du cercle se confonde avec une ellipse dont

les demi-axes soient

a el b <C. a.

Si l'on nomme x, y les coordonnées courantes de cette ellipse, on aura

Si l'on nomme au contraire x, y les coordonnées courantes de la circonférence de cercle dont le rayon est k, et dont le centre se promène sur le périmètre de l'ellipse, on aura

(4) ix-xy+ij--yy=k\

Ajoutons : i° que l'excentricité £ de l'ellipse sera liée aux demi-axes a

et h par les formules

£r=(l -\ , OU b=:a{l — S^-y-,

2° que le rayon k surpassera constamment le rayon de courbure p de l'ellipse, s'il est supérieur à la valeur minimum de p, c'est-à-dire au

rapport

Cela posé, cherchons d'abord, dans le plan des ce, y, les enveloppes intérieure et extérieure de l'espace que traverse le cercle représenté par la formule (4). Pour obtenir les équations de ces enveloppes, il suffira de joindre aux formules (3) et (4) celle que produit l'élimination de d\ et de dy entre les mêmes formules différentiées par rapport à X et à V, savoir la formule

puis d'éliminer x, y entre les formules (3), (4) et (5). Si, pour abréger, on représente par 0 la valeur commune des deux membres de l'équation (5), on aura

a^oc b^x

en sorte que les formules (3), (4) donneront

et les enveloppes dont nous avons parlé seront les deux courbes représentées par l'équation en x et y que produira l'élimination de 0 entre les formules (6). Si aux coordonnées rectangulaires x, y on substitue des coordonnées polaires r, p, liées aux premières par les équations

j" =: /• cosp, y = /• sin/?, on tirera des formules (6)

6 désignant une racine de l'équation du quatrième degré

(8) (^Q^—a^k-'){B + b'-Yco^^p-^{e'-~b''k^){0 + a'-Yih-i^p=:o.

Il est bon d'observer qu'en vertu de cette dernière équation le second membre de la formule (7) pourrait être réduit à une fonction entière de 0, et même à une fonction entière du troisième degré. Soient maintenant

les deux racines réelles de l'équation (8), relatives aux deux enveloppes; soient encore

les valeurs correspondantes de r^ tirées de la formule (7), et A l'aire comprise entre les deux enveloppes. On aura, en supposant r^<C /f ,

Ar=Lj^irJ-rf)dp.

D'autre part, le périmètre S de l'ellipse sera, comme l'on sait, déterminé par la formule

(10) S = al \/i — s^ cos^fpdo.

Sn COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

Donc, en vertu du théorème VI, on aura

(il) / {r^— rj)dp=z^ak I \/i — s^cos^ç do.

Ainsi se trouve établie une relation entre deux intégrales définies, dont la première a cela de remarquable que la fonction sous le signe / dépend uniquement de deux racines réelles d'une équation du quatrième degré.

La formule (ii) peut être aisément vérifiée dans des cas particuliers; et d'abord, si l'on suppose b = a, ou, ce qui revient au même, £ = o, les formules (8) et (7) donneront

rf-=a'k\ ^j — ±ak, r^=:{a±ky.

On aura donc alors

,.2 . ^2 — (« 4 ^)2 (rt __ ky- 4aA-, et, par suite,

r {r^ — rJ)dp = SakTi,

comme le donnerait la formule (11).

En second lieu, si l'on suppose k très petit, la formule (8) donnera

sensiblement

cosV sinV

et, en nommant 6 la valeur positive de 6 fournie par l'équation (12), on aura encore, à très peu près,

nf — r;' —

Cela posé, on tirera de la formule (11)

cos'-p s'in-p

^ dp — a i s/i — t^ cos"^ 9 do.

Or, pour obtenir directement cette dernière farmule, il suffit de prendre

acos9 = cosp(^^ + -^j

Calcul intégral. — Xote sur quelques théorèmes de Calcul intégral. C. R., T. Xin, p. 1087 (i3 décembre 1841).

Je donne dans cette Note un théorème de Calcul intégral qui comprend comme cas particulier le théorème déjà connu à l'aide duquel on transforme en intégrale simple une intégrale multiple, produite par plusieurs intégrations relatives à une même variable. Je remarque, en outre, que ce dernier théorème peut être utilement appliqué à la détermination de la fonction principale qui vérifie une équation caractéristique homogène. Enfin je me sers des formules ainsi obtenues pour éclaircir une difficulté qui a été soulevée dans la séance du i5 novembre, et que je vais rappeler en peu de mots.

Dans le préambule du Mémoire inséré au n*' 8 du Tome XIII des Comptes rendus ('), j'ai considéré une fonction principale, propre à vérifier une équation caractéristique homogène de l'ordre /^ entre trois coordoiinées et le temps l\ puis, en supposant que la valeur initiale de la dérivée de cette fonction, diiïérentiée n — i fois par rapport à /, dépendait de la distance à un centre fixe, et s'évanouissait toujours en

(«) OEuvres de Cauclij, S. I, T. VI, \^. 288.

dehors d'une sphère décrite dii même centre avec un rayon très petit, j'ai dit que cette dérivée se réduisait, pour les points situés dans l'intérieur de chaque onde, à une quantité infiniment petite, et, pour les points situés au dehors, à une quantité infiniment petite d'un ordre plus élevé. J'ai cru pouvoir en conclure que la mênie dérivée s'évanouit, dans V hypothèse admise, pour tous les points qui ne sont pas infiniment rapprochés de la surface des ondes. D'un autre côté, M. Blanchet, après avoir rappelé le passage que je viens de citer, a conclu de ses formules qu'i/ y a des déplacements et des vitesses entre les différentes nappes de la surface des ondes; et il a observé qu'il se trouvait en cela d'accord avec les résultats que M. Poisson a déduits des intégrales relatives aux ondes sphériques. Or, quoique ces diverses conclusions puissent paraître contradictoires au premier abord, cependant un examen attentif m'a conduit à reconnaître que la contradiction est seulement apparente. Ainsi, par exemple, en appliquant mes formules à des équations homogènes qui comprennent comme cas particulier celle dont M. Poisson s'est occupé, j'ai vu que, du moins pour ces équations, la dérivée de l'ordre n — \ de la fonction principale est effectivement nulle dans tous les points situés hors des diverses nappes, ou entre ces mêmes nappes, tandis que la fonction principale elle-même s'évanouit en dehors de la plus grande nappe, sans devenir nulle, ni entre les diverses nappes, ni en dedans de la plus petite. Ainsi, jusqu'à présent, rien n'infirme le théorème que j'avais énoncé. D'ailleurs les méthodes que j'ai données dans les précédents Mémoires, jointes à la remarque présentée au commencement de cette Note, fournissent les moyens de parvenir avec beaucoup de facilité à la valeur définitive de la fonction principale.

Analyse.

§ I, — Théorèmes de Calcul intégral.

Théorème P"". — Soient

II, i'

deux fonctions données d' une même variable s.

deux valeurs particulières de s, et supposons que la fonction v s évanouisse pour s = "z, avec ses dérivées d'un ordre inférieur à n. Si l on pose

o/t aura

[]= / ... / uds", V = I);r,

(2) f in' ds = {— ly f UV ds.

Démonstration. — Pour établir la formule (2), il suffira évidemment d'appliquer n fois de suite l'intégration par parties à la transformation de l'intégrale

/ uv ds,

en faisant porter les différcntiations sur le facteur v et sur les dérivées de ce facteur.

Corollaire I. — Si l'on suppose t = o, et si l'on indique à l'aide de

la caractéristique

n intégrations effectuées par rapport à la variable .y, et à partir de .y = o, la formule (2) pourra s'écrire comme il suit

f uvds=j \)-"u.ï)','i-d.s.

Corollaire IL — Si, dans la formule (2), on pose

u—{t — s)"', m désignant une quantité positive, on trouvera

(4) j" {t-s)"U'ds=£

D'Ud.s.

Dans cette dernière formule, comme dans l'équation (2), la fonction r est assujettie à la condition de s'évanouir avec ses dérivées d'un ordre égal ou inférieur à n, pour s = -. Or cette condition sera évidemment

CFmvics de C. — S. I, l. VI. 48

l'emplie si l'on prend

... \ {{s)ch\

et alors la formule (4) donnera

Si dans la formule (5) on pose m = o, et si en même temps on y remplace n par n- i, on obtiendra une équation qui pourra s'écrire comme il suit

Or l'équation (G), dans laquelle nous pouvons remplacer n par n- \, renferme un théorème déjà connu \^x)ir le Résumé des Leçons sur le Calcul infinitésimal, p. i4o(')J, et dont voici l'énoncé :

Théorème II. - L'intégrale multiple qui résulte de n intégrations effectuées par rapport à une même variable /, et à partir de l'origine t = t, sur une fonction donnée /{t), peut être transformée en intégrale simple par l'équation

§ II. — Transformation de la fonction principale qui vérifie une équation linéaire aux différences partielles.

Soit

une fonction de plusieurs variables x, y,z, ..., t, entière, du degré //, et dans laquelle le coefficient de t' se réduise à l'unité. Supposons d'ailleurs, pour fixer les idées, que les variables

œ, j, z, t, (^ 1 ) ()E livres do Caiichy, S. H, T. IV.

EXÏKÂIT N" lo3. 379

réduites à quatre, représentent trois coordonnées rectangulaires et le temps. Enfin soit ct une fonction principale, assujettie à vérifier, quel que soit /, l'équation caractéristique

(0 . F(D^,IVI)„D,)cT = o,

et, pour t = (), les conditions

(2) nr = (), l)<c7 = o, ..., l)J''-nj = o, 1)^'"' gt = ro(j-, j-, ;;).

Les méthodes exposées dans les précédents Mémoires fourniront toujours, et dans beaucoup de cas avec une grande facilité, la valeur générale de

c'est-à-dire la dérivée de l'ordre n — i de la fonction principale. Or, pour revenir de cette dérivée à la fonction elle-même, il suffira évidemment d'eifectuer n intégrations successives, par rapport à la seule variable t, et à partir de / = o. On y parviendra sans peine à l'aide de la formule (7) du § P''. En effet, si l'on désigne par

la valeur de D" 'cr considérée comme fonction de /, on aura, en vertu de cette formule,

(3) ÎTT --= r ^'^-'y-" (•(,) ,ls.

Pour montrer une application de la formule (3), prenons

(4) rn{x,y,z) = n{r) = il{-r), la valeur de r étant

et supposons en outre que la fonction Y(^x,y, z,t) se réduise à une fonction homogène de r et de /. Alors, en vertu d'une formule que j'ai donnée dans le Compte rendit de la séance du u) juillet dernier

[p. I If) (')], on aura

(\\ n«-ir,— r ^'^"~' {r-i-c)t)TL{r-hr,)t)-h{r~Mt)ll{r—(,)e) ^■'^ ^' ^-<t(F(«,r,uv.),L 27 '

//, (^, w étant assujettis à vérifier la condition