II- -h V- + (V- =r I

Si d'ailleurs Y[x, y, z, t) est une fonction paire de t, les diverses valeurs de w propres à vérifier l'équation

(6) V{u, (', iv^, w) = o

seront, deux à deux, égales aux signes près, mais affectées de signes contraires; et, par suite, la formule (5) pourra être réduite à

Cela posé, concevons qu'à l'origine du mouvement la valeur de D""'gt, représentée par II (r), soit toujours nulle hors des limites très rapprochées

La valeur générale de D^'"'gï s'évanouira évidemment,' au hout du temps t, pour tous les points qui ne se trouveront pas renfermés dans l'épaisseur d'une onde comprise entre deux surfaces sphériques dont les équations seront de la forme

r = (j)t — c, r =z fj) t -[- s ;

elle s'évanouira donc, pour tous les points situés, par exemple, entre deux ondes de cette espèce, ou en dedans de l'onde la plus petite. Mais on ne pourra, en général, en dire autant de la valeur de cr, qui, en vertu des formules (4) et (7), sera

(1) OEuvres de Caiiclij, Série I, Tome IV, p. '253; Extrait n" 13i.

ou, ce qui revient au même,

Si de cette dernière formule on veut, en particulier, déduire la valeur (le CT correspondante : i*' à un point situe en dehors de toutes les ondes; 2" à un point situé en dedans de la plus petite, on trouvei'a, dans le premier cas,

(10) Tn = o,

et, dans le second cas,

Si l'équation caractéristique donnée se rapporte au mouvement d'un système isotrope, la fonction

pourra être réduite à la forme

0, Q' désignant les vitesses de propagation des vibrations transversales et longitudinales. Alors l'équation (7) donnera

^ {r-9Jt)Jlir-OJt) + {r + ^'t)n{r-i-9Jt) -+- V

les valeurs de [x, v étant

(i^) IJ.— — —., V —

il'—Q,'- £2'^— 12^

Cela posé, supposons que la valeur initiale II(/-) de D;*gt. s'évanouisse pour une valeur numérique de /-supérieure à £. Alors, en supposant

on verra la formule (i 2) se réduire à

(/•-OOII(/---QO , ir-il't)Uir-PJt)

(,4) \)JT^=IX ^ hV — >

et la formule (9) donnera

] 4ii '' Jr-ilt

Alors aussi la propagation du mouvement donnera naissance à deux ondes comprises, au bout du temps/, la première entre les surfaces sphériques représentées par les équations

la seconde entre les surfaces sphériques représentées par les équations

rz=9Jt—c, r^9Jt.-\-î.

Or si, pour tixer les idées, on suppose

on tirera de la formule (i5) : i" pour un point situé en dehors des deux ondes

(16) ct:^o:

'2'' pour un point compris entre les deux ondes

U7) . -=-.-rk('--"'^I/'"

{s)ds;

3" pour un point situé en dedans des deux ondes

ou, ce qui revient au même, eu égard aux formules (i'3),

^'^^ ' '^=^..im'{k-+-i2')f__/^^^'^

ds.

Si l'on supposait en particulier II(^) réduit à une constante h, on aurait, dans les formules (17), (i^^).

s'''\i{s)ds=.lhz\

Il suit d'ailleurs de ces formules que, dans le mouvement d'un système isotrope de molécules, et dans le cas où l'équation caractéristique devient homogène, la fonction principale tô, toujours nulle en dehors des deux ondes, cesse de s'évanouir entre ces ondes et en dedans de la plus petite. Ces conclusions s'étendent au cas même où les valeurs initiales de gt seraient représentées, non plus par Ilfr), mais par us[x, y, z). Dans ce dernier cas, la valeur générale de gt se déduira aisément des formules que nous venons d'étahlir, jointes à l'une de celles que renferme le Compte rendu à^ la séance du 5 juillet dernier [voir la formule (i4)» P- 9 (')]• C'est ce (jue nous expliquerons plus en détail" dans les Exercices d'Analyse et de Physique mathématique.

Dans un nouvel Article, nous généraliserons les résultats auxquels nous venons de parvenir, et nous donnerons d'autres applications de la formule (3).

(IvLCUL INTÉGRAL. — Note sur la réduction de la fonction principale qui vérifie une équation caractéristique homogène.