C. R., t. XIII, p. \\>.- (20 décembre i84i
Prenons pour variahles indépendantes trois coordonnées rectangulaires ix-, y, z et le temps /. Soit d'ailleurs F(£r, y, ^, t) une fonction de
(1) OEm'res de Caucln, S. I, T. VI, p. 210. Extrait n" 129.
ces variables, entière, homogène, dn degré n, et dans laquelle le coefficient de t"^ se réduise à l'unité. Enfin supposons que, Y[œ,y,z,l) étant une fonction paire de /, l'on nomme rar une fonction principale assujettie : i*" à vérifier, quel que soit /, l'équation caractéristique homogène
(n F(D,, D,,D„D,)cT = o;
2" à vérifier, pour / = o, les conditions (•.:.) GT = o, D,t^ = o, ..., Wr-w = o, Dr'^ = n(r),
la valeur de /■ étant donnée par la formule
et la fonction \\{r) étant telle que l'on ait "
ii(-/')==n(,-).
D'après ce qui a été dit dans le Compte rendu de la séance du l'S août dernier[page4o8, formule (8)] ('), on aura
les valeurs de u, c, w, oj, s étant déterminées par les formules
(4) ii=:cosp, r r= sin/? cos<7, (i'= sin/j> sin^,.
(6) s =■ ua- -^ vy -i- ivz- — m t.
Si d'ailleurs la fonction
s'évanouit hors des limites
£ désignant un nombre très petit, il importera surtout de calculer la partie de gt correspondante à une nappe de la surface des ondes, dans
( ') OEiH'rei de Cauchy, S. I. T. VI. p. 299. Extrait 11" \Vi.
le cas où le point (^,7, z) sera très rapproché de cette nappe. Or une nappe déterminée de la surface des ondes correspond à une racine déterminée de l'équation (5). De plus, l'équation (6), lorsqu'on y considère M comme une fonction déterminée de u, v, w, établit une relation entre les angles polaires/?, ^; et par suite représente un cône qui coupe suivant une certaine courbe la sphère décrite de l'origine comme centre, avec un rayon égal à l'unité de longueur. Nommons K l'aire mesurée sur la surface sphérique dans l'intérieur de cette courbe, en supposant que le point (^, j,^) soit très rapproché de la surface des ondes, ou plutôt d'une nappe de cette surfiice, et qu'un plan tangent mené à la surface dans le voisinage du point {x,y,z) ne la traverse pas. Il est aisé de s'assurer que, pour des valeurs finies de r, la partie de cT correspondante à la nappe que l'on considère se réduira sensiblement à la partie qui répond à cette nappe dans l'expression
les valeurs de u, v, w étant déterminées en fonction des coordonnées -r, y,^, ou, ce qui revient au même, en fonction des rapports
par la formule (5) jointe aux suivantes
et p désignant la plus grande valeur que ^puisse acquérir.
Exemple. — Supposons que la surface caractéristique, c'est-à-dire la surface généralement représentée par la formule
se réduise à la sphère dont l'équation est
«*=i2^(a;2-t-j2 4- -2), OEuores de C. — S. 1,1. yi. ^g
Q désignant une quantité positive. Alors la valeur de co, qui doit rester positive, en vertu de la première des formules (8), sera simplement
et si, dans l'équation (6) réduite à
on considère u, r, w comme représentant des coordonnées variables et rectangulaires, cette équation sera celle d'un plan dont la distance à l'origine se trouvera exprimée par le rapport
L'aire K du segment intercepté par ce plan sur la surface de la sphère dont l'équation est
aura évidemment la valeur que détermine la formule
On aura donc, dans le cas présent,
De plus, r étant la valeur maximum de iix h- ^j + wz-, la plus grande valeur que puisse acquérir la quantité
s :=^ uœ ~\- çy H- wz — Q,t
sera r ~ Q/. On aura donc
et la partie de l'expression (7) correspondante à w = Ù sera
pr— / S U.(s) ds.
Or, dans l'exemple que l'on considère, l'expression précédente repré-
sentera précisément la valeur générale de cr, en sorte qu'on aura, poui- (les valeurs finies de r.
D,GJ
Ces conclusions s'accordent avec celles que nous avons obtenues dans la précédente Note.
Dans un autre Article, nous montrerons comment on peut généralement calculer l'aire ci-dessus représentée par la lettre K.
(Calcul intégral. — Addition à la Note insérée dans le Compte rendu
de la précédente séance.
