C. R., t. XIII, p. ii3o('>.o décembre i84i

Lorsque, pour un système isotrope de molécules, les équations du mouvement deviennent homogènes, les déplacements

d'une molécule, mesurés parallèlement aux axes, se déduisent de la fonction principale gt à l'aide des formules que j'ai données dans la 7^ et la 8^ livraison des Exercices d'Analyse et de Physique mathématique. Or, de ces formules combinées avec les équations (16), (17), (18) de la page 1094 ('), il résulte que, dans le mouvement dont il s'agit, les déplacements, et par suite les vitesses des molécules s'évanouissent, en dedans et en dehors des deux ondes propagées, et même entre ces deux ondes. Quant à la fonction principale, dont la dérivée du troisième

(>) OEuvres de Cauchj, S. I, T. VI, p. 382, 383. Extrait n" 133.

ordre est constamment nulle, pour les points non situés dans l'épaisseur de l'une des ondes, si elle cesse de s'évanouir au bout du temps t, |)onr un point situé entre les deux ondes, ou en dedans de la plus |)etite, cela tient évidemment à ce qu'un tel point a dû certainement, avant la fin du temps t, se trouver renfermé dans l'épaisseur de l'onde la plus grande, ou môme successivement dans l'épaisseur de l'onde la |)lus grande, et dans l'épaisseur de la plus petite. Observons encore que, dans la formule (i5) de la page 1093 ('), on peut remplacer la seconde limite r de chacune des intégrales que renferme le second membre par la limite £.

Observons enfin que, si l'on combine la formule (5) de la page 1091 {^) avec la formule (i4) de la page 9(^), on retrouvera l'équation (i5) de la page i23(''), les valeurs X,[jt., v étant données.par les formules (12)

de la page 122 (^), dans lesquelles on devra poser

coi.

Si le premier membre Y(x,y,z,t) de l'équation caractéristique était fonction, non plus de / et du rayon vecteur r, mais de / et de t, le carré (le ï étant une fonction homogène du second degré en x, y, z, la valeur générale de D"""^© se trouverait encore exprimée par une intégrale double, en vertu d'une formule qu'il est facile d'obtenir. Cette dernière formule, analogue à l'équation (i5) de la page i23, comprendrait comme cas particulier la formule (20) de la page 206 du Tome P' des Exercices (").

Nous remarquerons en finissant que, dans la formule (i4) de la page 1 19(^), on doit remplacer évidemment le produit co/ par le rapport ^» la valeur de Q étant celle que donne l'équation (3) de la

(1) OEuvres de Caucliy, S. I, T. VI, p. 882. Extrait n° lo3.

(2) Ici. Id. p. 38o. » n° 153. "(3) Id. Id. p. 210. » n° 129.

(*) Id. Id. p. 258. » n° 134.

(8) Id. Id. p. 257. » n° 134.

(6) Id. S. II, T. XI. Nouveaux Exercices.

(7) Id. S. I, T. VI, p. 254. Extrait n" 134.

page 98 ('). C'est ce que l'on reconnaîtra sans peine en effectuant le calcul indiqué à la page ii8(^).

Calcul intégral. — Note suj' diverses transformations de la fonction principale quii^érifie une équation caractéristique homogène.